Álgebra linear/Índice/Álgebra matricial

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Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra k.

Índice

[editar] Multiplicação por um escalar

A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.

Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_{ij} = k \cdot a_{ij}.

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

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Exemplo
2 \begin{bmatrix} 9 & 1 & -2 \\ 1 & -5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\ 2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 2 & -4 \\ 2 & -10 & 6 \end{bmatrix}

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

  • Associativa em relação ao Escalar: (k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A)
  • Distributiva em relação ao Escalar: (k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A
  • Distributiva em relação à Matriz: k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B
  • Elemento Neutro: 1 \cdot A = A

[editar] Adição de Matrizes

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos cij = aij + bij.

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Exemplo

\begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 & 5 \\ 2 & 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 8+6 & -3+5 \\ 4+2 & -2+5 & 5+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 14 & 2 \\ 6 & 3 & 12 \end{bmatrix}

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

  • Propriedade Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
  • Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = 0 (0 é uma Matriz Nula, não um escalar)
  • Simétrico Aditivo: − A + A = A − A = 0
  • Comutatividade: A + B = B + A

[editar] Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

Se A é uma matriz m×n e B é uma matriz n×p, então seu produto AB é a matriz m×p (m linhas e p colunas) dada por:

(AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + ... + A_{i,n} B_{n,j} \!\ para cada par i e j.
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Exemplo
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

  • Associativa: (A \times B) \times C = A \times (B \times C)
  • Distributiva em relação à Adição: (A + B) \times C = A \times C + B \times C
  • Elemento Neutro: A \times I = A (onde I representa a Matriz Identidade de ordem n, onde n é o número de colunas de A)

[editar] Transposição

A operação de transposição de uma matriz A retorna como resultado sempre um matriz B tal que, para todo elemento de A e B, aij = bji. B é então dita a matriz transposta de A, denotada por At.

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Exemplo

\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

  • O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se A era m \times n, At será n \times m.
  • Cada coluna de A corresponderá a uma linha de At, e vice-versa.


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