Álgebra linear/Índice/Matrizes

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[editar] Introdução

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.

Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.

Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4&10\\ 1&-3&-7\\ 3&0&0\\ 5&5&0 \end{pmatrix}$

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Para saber mais...

A teoria de matrizes estudada neste módulo está intimamente ligada com a teoria de sistemas de equações lineares apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A teoria de equações simultâneas foi popularizada no oriente pelo matemático japonês Seki e, um pouco depois, por Leibniz, o maior rival de Newton. Posteriormente, Gauss, outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como eliminação gaussiana^[1].

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

$B = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{pmatrix}$

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

$T = \begin{pmatrix} a&b&c&d\\ h&g&f&e\\ i&j&k&l\\ p&o&n&m\\ q&r&s&t\\ \end{pmatrix}$

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

$V = \begin{pmatrix} 2&3&5&7&11&13\\ \end{pmatrix}$

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Organização de uma matriz

[editar] Tipos Especiais de Matrizes

Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual $m = n$ . Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual $m = 1$ . Isto é, ela possui apenas uma linha.
Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual $n = 1$ . Isto é, ela possui apenas uma coluna.
Uma Matriz Diagonal é toda aquela cujo elemento $A i, j = 0$ se $i \neq j$ . Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
Uma Matriz Escalar é toda aquela cujo elemento $A i, j = 0$ se $i \neq j$ e $A i, j = X$ . Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos $A i, j = 0$ . Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
Uma Matriz Identidade é toda aquela cujos elementos $A i, j = 0$ se $i \neq 0$ e $A i, j = 1$ se $i = j$ . Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

[editar] Exemplos de Matrizes

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Nesse exemplo, o elemento $a 12$ é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento $a i j$ é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a i j = i + j$ , para $i$ de 1 a 3 e $j$ de 1 a 2, define a matriz 3×2 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$ .