Introdução à Probabilidade e Estatística/Índice/Análise combinatória
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Índice |
[editar] Análise Combinatória
[editar] Princípios básicos de contagem
[editar] Princípio da Adição
Suponhamos um procedimento executado em 
fases. A fase 1 tem 
maneiras de ser executada, a fase 2 possui 
maneiras de ser executada e a fase tem 
modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem 
maneiras de ser realizado.
Exemplo
Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.
[editar] Princípio da Multiplicação
Suponhamos um procedimento executado em fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem maneiras de ser executada, a fase 2 possui maneiras de ser executada e a fase tem modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há 
nabeiras de executar o procedimento.
Exemplo
Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.
Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação.
- Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar?
Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo 
. Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.
Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:
- 1º algarismo: 9 possibilidades 
;
- 2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo;
- 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).
Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo.
Sem fixar o zero, temos:
-3º algarismo: 4 possibilidades 
-1º algarismo: 8 possibilidades , excluindo a escolha feita para o último algarismo;
-2º algarismo: 8 possibilidades 
, porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.
Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.
Ao todo, temos 75 + 256 = 328 formas de escrever o número.
