Lógica: Cálculo Proposicional Clássico: Tablôs semânticos

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Tablôs semânticos

Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra.

Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente.

Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo é a construção dos tablôs semânticos.

Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.

Provar por contradição consiste em provar a verdade de $\psi \!\,$ supondo que $\psi \!\,$ é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se $\psi \!\,$ é falso é contraditório, então $\psi \!\,$ é verdadeiro.

Em outras palavras, se ${\mathfrak {v}}\left(\psi \right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(\varphi \right)=\mathrm {V} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\varphi \right)=\mathrm {F}$ então devemos inferir ${\mathfrak {v}}\left(\psi \right)=\mathrm {V}$.

Tablôs de Fórmulas

Exemplo 1

Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ é uma tautologia.

O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:

$\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$

Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem $\alpha \,\!$ como antecedente e $\alpha \to \beta \,\!$ como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é falso se e somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tablô.

$\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

$\mathbf {F} \quad \beta \to \alpha$

É feita uma marca (Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png) nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.

Mais uma vez, se $\beta \to \alpha$ é falso, então o antecedente $\beta \,\!$ é verdadeiro enquanto o conseqüente $\alpha \,\!$ é falso:

$\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

$\mathbf {F} \quad \beta \to \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \beta \,\!$

$\mathbf {F} \quad \alpha \,\!$

$\times$

Este tablô nos mostra que ${\mathfrak {v}}\left(\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F}$.

Oras, a fórmula $\alpha \,\!$ está com dois valores. Isto é contradição. Supor que $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$ sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.

Exemplo 2

Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, $\left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha$ , é tautológica.

O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:

$\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha$

Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação:

$\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)$

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha$

Na terceira linha temos a falsidade da negação de $\alpha \!\,$. Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:

$\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)$

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

Como acabamos com o fragmento $\neg \alpha$ , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras:

$\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

$\mathbf {V} \quad \neg \beta$

$\mathbf {V} \quad \alpha \to \beta$

Na quinta linha temos a verdade da negação de $\beta \,\!$. Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.

$\mathbf {F} \quad \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

$\mathbf {V} \quad \neg \beta \quad$ Ficheiro:Crystal Clear gray action button ok.png

$\mathbf {V} \quad \alpha \to \beta$

$\mathbf {F} \quad \beta \,\!$

Agora, lidar com a verdade de $\alpha \to \beta$ é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro.

O tablô fica, então, desta forma:

Ficheiro:Tablo2a.jpg

Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica.

Exemplo 3

Façam mais usuais. Uma das leis de Morgan, $\neg \left(\alpha \lor \beta \right)\leftrightarrow \left(\neg \alpha \land \neg \beta \right)$ , parece bastante adequada para este fim.

O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:

$\mathbf {F} \quad \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\leftrightarrow \left(\neg \alpha \land \neg \beta \right)$

Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:

Ficheiro:Tablo3x.jpg

Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula $\neg \left(\alpha \lor \beta \right)$, que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:

Ficheiro:Tablo4x.jpg

Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:

Ficheiro:Tablo5x.jpg

Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas é falsa quando ao menos uma delas é falsa, o que nos obriga a ramificar o tablô:

Ficheiro:Tablo5ax.jpg

Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:

Ficheiro:Tablo6x.jpg

Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas é verdadeira se e somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tablô:

Ficheiro:Tablo7x.jpg

Como podemos ver, o tablô fechou em todos os seus ramos. A fórmula é, portanto, tautológica.

Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas. Como já foi explicado, chamar "esquemas de fórmulas" por "fórmulas" é uma economia de linguagem.

Exemplo 4

Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, $\neg \left(\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\right)$:

Ficheiro:Tablo8x.jpg

Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.

Exemplo 5

Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como $\left(\varphi \lor \psi \right)\to \psi$ :

Ficheiro:Tablo9.png

Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).

Regras de Construção de Tablôs

Segue adiante as regras de construção de tablôs:

Um tablô está completo se:

• todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.

Ou se:

• todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.

Exercício

Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas:

1. $\left(A\land B\right)\to \neg \neg A$
2. $A\to \neg A$
3. $\left(C\to \left(D\to E\right)\right)\to \left(\left(C\to D\right)\to \left(C\to E\right)\right)\,\!$
4. $\neg P\to \left(P\to Q\right)\,\!$
5. $P\to \left(P\to Q\right)\,\!$
6. $\left(A\lor B\right)\to \left(A\land B\right)\,\!$
7. $\left(A\to \left(B\to C\right)\right)\leftrightarrow \left(B\to \left(A\to C\right)\right)\,\!$
8. $\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow \left(\neg A\lor \neg B\right)$
9. $\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow \left(\neg A\land \neg B\right)$
10. $\left(P\to Q\right)\to P$
11. $\left(\left(P\to Q\right)\to P\right)\to P$

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Tablôs de Argumentos

Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.

De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.

Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.

Exemplo 1

Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,

$\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A$

$\mathbf {V} \quad A\to B$

$\mathbf {V} \quad \neg B$

$\mathbf {F} \quad \neg A$

Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:

Ficheiro:Tabloexemplo2.png

Exemplo 2

Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:

Ficheiro:Tabloxx.png

Não caímos em contradição ao supor que $B\,\!$ seja falsa enquanto $\neg \left(A\land B\right)$ e $\neg A\,\!$ são verdadeiras. Portanto, $B\,\!$ não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas $\left\{\neg \left(A\land B\right),\neg A\right\}$

Exercício

Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo "$\therefore$" são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões.

1. $\varphi \therefore \varphi \lor \psi \,\!$
2. $\left\{\varphi \to \psi ,\psi \to \chi \right\}\therefore \varphi \to \chi \,\!$
3. $\delta \to \gamma \therefore \neg \delta \to \neg \gamma \,\!$
4. $\left\{\alpha \lor \beta ,\neg \alpha \right\}\therefore \beta \,\!$
5. $\left\{\alpha \lor \beta ,\alpha \right\}\therefore \neg \beta \,\!$
6. $\delta \to \gamma \therefore \neg \gamma \to \neg \delta \,\!$
7. $\left\{\varphi \to \psi ,\psi \to \varphi \right\}\therefore \varphi \leftrightarrow \psi$
8. $\left\{\varphi \to \chi ,\delta \to \chi \right\}\therefore \left(\varphi \lor \delta \right)\to \chi \,\!$
9. $\neg \left(\alpha \land \beta \right)\therefore \neg \alpha \,\!$
10. $\neg \alpha \therefore \neg \left(\alpha \land \beta \right)\,\!$

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