CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Vetorial e Geometria Analítica/Álgebra de Vetores no Plano e no Espaço

Definição de Vetores

Um vetor é uma quantidade que possui magnitude (ou comprimento) e direção. Ele é representado por um segmento de reta orientado, com uma extremidade chamada de origem e a outra chamada de extremidade.

Exemplo: Considere o vetor 𝑣 = (3,4) no plano cartesiano. Ele tem magnitude  ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$  e direção definida pelo ângulo cujo seno é  ${\frac {4}{5}}$  e cosseno é  ${\frac {3}{5}}$ .

Operações com Vetores

Adição de Vetores:

A soma de dois vetores 𝑢 e 𝑣 é um vetor 𝑤 que pode ser encontrado colocando a extremidade de 𝑢 na origem de 𝑣. A soma é representada como 𝑢 + 𝑣.

Geometricamente, isso pode ser feito usando a regra do paralelogramo ou a regra do triângulo.

Exemplo: Se 
𝑢 = (1,2) e 𝑣 = (3,4), então 𝑢 + 𝑣 = (1 + 3,2 + 4) = (4,6).

Subtração de Vetores:

A subtração de dois vetores 𝑢 e 𝑣 é um vetor 𝑤 que pode ser encontrado adicionando 𝑢 ao vetor oposto de 𝑣. A subtração é representada como 𝑢 − 𝑣.

Exemplo: Se 𝑢 = (5,7) e 𝑣 = (2,3), então 𝑢 − 𝑣 = (5 − 2,7 − 3) = (3,4).

Multiplicação por Escalar:

A multiplicação de um vetor 𝑢 por um escalar 𝑘 resulta em um vetor 𝑘𝑢 que tem a mesma direção de 𝑢, mas com magnitude 𝑘 vezes a magnitude de 𝑢.

Exemplo: Se 𝑢 = (2,3) e 𝑘 = 4, então 𝑘𝑢 = 4⋅(2,3) = (8,12).

Produto Interno e Produto Vetorial

Produto Interno (ou Produto Escalar):

O produto interno de dois vetores 𝑢 e 𝑣 é um escalar definido como 𝑢⋅𝑣 = ∥𝑢∥∥𝑣∥cos⁡𝜃, onde 𝜃 é o ângulo entre os vetores.

Exemplo: Se 𝑢 = (1,2,3) e 𝑣 = (4,5,6), então 𝑢⋅𝑣 = 1⋅4 + 2⋅5 + 3⋅6 = 4 + 10 + 18 = 32.

Produto Vetorial:

O produto vetorial de dois vetores 𝑢 e 𝑣 é um vetor 𝑤 que é perpendicular a ambos 𝑢 e 𝑣. Ele é definido como 𝑢×𝑣.

Exemplo: Se 𝑢 = (1,2,3) e 𝑣 = (4,5,6), então 𝑢×𝑣 = (2⋅6 − 3⋅5,3⋅4 − 1⋅6,1⋅5 − 2⋅4) =(12 − 15,12 − 6,5 − 8) = (−3,6,−3)

Propriedades e Aplicações:

Comutatividade: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

Associatividade: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)

Distributividade: 𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣