CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Vetorial e Geometria Analítica/Combinação Linear
Conceitos de Dependência e Independência Linear:
[editar | editar código]Dependência Linear:
[editar | editar código]Um conjunto de vetores {𝑣1,𝑣2,…,𝑣𝑛} é dito ser linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor nulo. Em outras palavras, existem escalares 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛, nem todos iguais a zero, tais que:
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + … + 𝑐𝑛𝑣𝑛 = 0
Exemplo: Considere os vetores 𝑣1 = (1,2) e 𝑣2 = (2,4). Esses vetores são linearmente dependentes porque 𝑣2 = 2𝑣1.
Independência Linear:
[editar | editar código]Um conjunto de vetores {𝑣1,𝑣2,…,𝑣𝑛} é dito ser linearmente independente se a única combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo é a combinação trivial, onde todos os escalares são zero. Em outras palavras:
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + … + 𝑐𝑛𝑣𝑛 =0 ⟹ 𝑐1 = 𝑐2 = … = 𝑐𝑛 = 0
Exemplo: Considere os vetores 𝑣1 = (1,0) e 𝑣2 = (0,1). Esses vetores são linearmente independentes porque a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando ambos os escalares são 0.
Bases e Dimensões de Espaços Vetoriais
[editar | editar código]Bases:
[editar | editar código]Um conjunto de vetores {𝑣1,𝑣2,…,𝑣𝑛} é uma base para um espaço vetorial 𝑉 se os vetores são linearmente independentes e geram 𝑉. Ou seja, cada vetor em 𝑉 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Exemplo: No espaço vetorial 𝑅2, os vetores 𝑣1 = (1,0) e 𝑣2 = (0,1) formam uma base porque são linearmente independentes e qualquer vetor em 𝑅2 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Dimensões:
[editar | editar código]A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para esse espaço. Em outras palavras, a dimensão é o número de vetores linearmente independentes que geram o espaço.
Exemplo: A dimensão de 𝑅2 é 2 porque qualquer base desse espaço contém exatamente 2 vetores.