CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Vetorial e Geometria Analítica/Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas

Conversão entre Coordenadas Cartesianas, Polares, Cilíndricas e Esféricas

Coordenadas Polares (2D):

As coordenadas polares são usadas para descrever pontos no plano utilizando um raio (𝑟) e um ângulo (𝜃).

Relação com as coordenadas cartesianas (𝑥,𝑦):

𝑥 = 𝑟cos𝜃
𝑦 = 𝑟sin𝜃
𝑟 = (𝑥² + 𝑦²)^1/2
𝜃 = tan⁻¹(𝑦/𝑥) (considerando os quadrantes corretamente)

Exemplo: Para converter o ponto (𝑥,𝑦) = (3,4) para coordenadas polares:  $r={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5,{\text{ }}\theta =tan^{-1}(4/3)\approx 53^{\circ }$

O ponto em polares é (𝑟,𝜃) = (5,53^∘).

Coordenadas Cilíndricas (3D):

Uma extensão das polares para 3D, incluindo a altura (𝑧):

𝑥 = 𝑟cos𝜃
𝑦 = 𝑟sin𝜃
𝑧 = 𝑧
𝑟 = (𝑥² + 𝑦²)^1/2
𝜃 = tan⁻¹(𝑦/𝑥)

Exemplo: Para o ponto (𝑥,𝑦,𝑧) = (3,4,5):  $r={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5,{\text{ }}\theta =tan^{-1}(4/3)\approx 53^{\circ },{\text{ }}z=5$

Coordenadas cilíndricas: (𝑟,𝜃,𝑧) = (5,53^∘,5).

Coordenadas Esféricas (3D):

Usadas para pontos em 3D, com um raio (𝜌), ângulo polar (𝜙) e ângulo azimutal (𝜃):

𝑥 = 𝜌sin⁡𝜙cos⁡𝜃
𝑦 = 𝜌sin⁡𝜙sin⁡𝜃
𝑧 = 𝜌cos⁡𝜙
𝜌 = (𝑥² + 𝑦² + 𝑧²)^1/2
𝜃 = tan⁻¹(𝑦/𝑥)
𝜙 = cos⁡⁻¹(𝑧/𝜌)

Exemplo: Para o ponto (𝑥,𝑦,𝑧) = (3,4,5):

 $\rho ={\sqrt {3^{2}+4^{2}+5^{2}}}={\sqrt {50}}\approx 7.07,{\text{ }}\theta =tan^{-1}(4/3)\approx 53^{\circ },{\text{ }}\phi \cos ^{-1}(5/7.07)\approx 45^{\circ }$

Coordenadas esféricas: 
(𝜌,𝜙,𝜃) = (7.07,45^∘,53^∘).

Aplicações em Problemas Geométricos

Coordenadas Polares:

Representação de curvas circulares ou espirais (ex.: 𝜃 = 𝑟).

Trajetórias de objetos que se movem radialmente, como planetas ou ondas sonoras.

Exemplo: Determinar o comprimento de um arco circular, que é mais simples com polares.

Coordenadas Cilíndricas:

Modelagem de superfícies cilíndricas, como tubos, pilares e hélices.

Usada em problemas que envolvem simetria axial.

Exemplo: Descrever a equação de um cilindro (𝑟 = constante) ou de uma hélice (𝑧 = 𝜃).

Coordenadas Esféricas:

Modelagem de formas esféricas, como planetas, estrelas ou bolhas.

Aplicada em problemas envolvendo campos radiais, como força gravitacional ou eletrostática.

Exemplo: Calcular a área de uma casca esférica, que em esféricas é simplesmente 𝐴 = 4𝜋𝜌².