CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral I/Funções Inversas
Definição de Funções Inversas
[editar | editar código]Uma função inversa é aquela que "desfaz" o efeito da função original. Se 𝑓(𝑥) é uma função, a sua inversa, 𝑓−1(𝑥), satisfaz a seguinte propriedade:
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥
Isso significa que quando aplicamos a função e sua inversa em sequência, recuperamos o valor inicial.
Domínio e Imagem Trocados:
[editar | editar código]O domínio da função original 𝑓(𝑥) se torna a imagem da função inversa 𝑓−1(𝑥), e a imagem de 𝑓(𝑥) se torna o domínio de 𝑓−1(𝑥).
Condição de Existência:
[editar | editar código]Para que uma função tenha uma inversa, ela deve ser bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Funções injetoras garantem que cada valor do domínio esteja associado a um único valor na imagem, o que é essencial para "desfazer" a função.
Propriedades das Funções Inversas
[editar | editar código]- Simetria em Relação à Reta 𝑦 = 𝑥: O gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função original em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
- Monotonicidade: Se 𝑓(𝑥) é estritamente crescente ou decrescente no seu domínio, então 𝑓 é injetora, e a inversa existe.
- Composição: Como mencionado, 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = .𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥
Cálculo de Funções Inversas
[editar | editar código]Os passos para encontrar a função inversa 𝑓−1(𝑥) são os seguintes:
- Substituir 𝑦 = 𝑓(𝑥).
- Resolver a equação para 𝑥 em termos de 𝑦.
- Trocar as variáveis 𝑥 e 𝑦 (pois a inversa troca os papéis do domínio e da imagem).
Exemplo 1: Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.
Substituímos 𝑦 = 2𝑥 + 3.
Resolvemos para 𝑥: 𝑦 − 3 = 2𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑦/2 − 3/2.
Troque 𝑥 e 𝑦: 𝑓−1(𝑥) = 𝑥/2 − 3/2.
Exemplo 2: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2, com 𝑥 ≥ 0
Substituímos 𝑦 = 𝑥2.
Resolvendo para 𝑥: 𝑥 = 𝑦1/2
Troque 𝑥 e 𝑦: 𝑓−1(𝑥) = 𝑥1/2.