CCT-UFCA/Ciência da Computação/Introdução à Teoria dos Jogos/Ótimo de pareto

Ótimo de pareto

Formalmente falando um perfil de ações $a$ pareto domina um perfil de ações $a'$ se $\forall i\in N,u_{i}(a)>=u_{i}(a')$ e existe algum $j\in N$ em que $u_{j}(a)>u_{j}(a')$, ou seja, para todo jogador sua utilidade de $a$ é igual ou maior a de $a'$, e existe algum $a$ cuja utilidade seja estritamente maior $a'$, em outras palavras, um perfil de ação pareto domina outro quando ao menos um jogador melhora sua utilidade sem que os demais piorem as suas.

Em complemento dizemos que um um perfil de ação é ótimo de pareto se não existe nenhum outro perfil de ação que o pareto domina, ou seja, não existe outro resultado que permite um dos jogadores melhorem sua utilidade sem os que os outro(s) piore(m) as sua(s).

Exemplo 1: considere a seguinte instância do jogo da coordenação abaixo:

$1/2$	$Left$	$Right$
$Left$	$1,1$	$0,0$
$Right$	$0,0$	$1,1$

Observe que ($Left$, $Left$) e ($Right$, $Right$) pareto dominam ($Left$, $Right$) e ($Right$, $Left$), pois ambos os jogadores tem sua prioridade melhorada ao mudarem dos seus perfis de ações originais para os indicados. Adicionalmente temos que ($Left$, $Left$) e ($Right$, $Right$) são ambos ótimos de pareto pois não existem outros perfis de ações cujas mudanças permitam que ao menos um jogador melhore sua utilidade sem prejudicar a do outro, em todos os perfis de ações restantes sua mudança resultaria em diminuir a utilidade, e portanto, prejudicar ambos os jogadores.

Exemplo 2: considere a seguinte instância do jogo Heads and Tails abaixo:

$1/2$	$Heads$	$Tails$
$Heads$	$1,-1$	$-1,1$
$Tails$	$-1,1$	$1,-1$

Neste exemplo temos que nenhum perfil de ação pareto domina outro, pois qualquer mudança de perfil resultaria na piora de prioridade de um dos jogadores, por consequência, todos os perfis de ação são ótimos de paretos, pois não há perfis que pareto dominam outros, logo, não é possível mudar de perfil de modo que um jogador melhore sem que outro piore.

Exemplo 3: considere a seguinte instância do jogo do dilema do prisioneiro abaixo:

$1/2$	$C$	$D$
$C$	$-1,-1$	$-4,0$
$D$	$0,-4$	$-3,-3$

Por fim, neste exemplo temos que todos os perfis de ações, com exceção do perfil de ação $a=\{(D,D)\}$ que é o equilíbrio de nash puro desse jogo, são ótimos de pareto, pois a partir deles não é possível mudar de perfil sem que um dos jogadores piore sua utilidade. Adicionalmente $a$ não é ótimo de pareto pois o perfil $a'=\{(C,C)\}$ de utilidade $u(a')=\{(-1,-1)\}$ pareto domina $a$, uma vez que a mudança de $a$ para o mesmo possibilita uma melhora da utilidade para ambos os jogadores.