CCT-UFCA/Ciência da Computação/Introdução à Teoria dos Jogos/Definição de jogos na forma normal

Definindo jogos na forma normal

Diferentes conceitos básicos norteiam a concepção de um jogo sobre a ótica da teoria dos jogos, são eles:

• jogadores: qualquer entidade que toma uma decisão (ex: pessoas, governos, empresas)
• Ações: decisões ou escolhas disponíveis no contexto do jogo (ex: comprar/vender uma ação, escolher pedra, papel ou tesoura; decidir em quem votar)
• Utilidade: ganho ou recompensa recebida com base em suas ações (ex: lucro, satisfação de vencer)

Cada agente pode possuir um interesse próprio, ou seja, preferências quanto a diferentes estados do mundo representados pelo jogo, a teoria dos jogos utiliza a teoria da utilidade para modelar tais preferências, mapeando um estado do mundo representado pelo jogo a um número real, de modo a quantificar o grau de preferência de um agente pelo mesmo.

Modelar um agente com o objetivo de maximizar sua utilidade é um dos objetos de estudo da teoria dos jogos. Nesse contexto dois cenários surgem à tona, a situação em que dois ou mais agentes querem maximizar suas funções de utilidade de modo que a ação de um interfere na utilidade do outro (estudada pela teoria dos jogos não cooperativa), e a situação em que os interesses dos agentes se alinham (estudada pela teoria dos jogos cooperativa).

Considerando que a utilidade dos jogadores está estritamente relacionada a suas ações, temos que um jogo representa o valor da função de utilidade de cada jogador para cada um dos estados do jogo. Em um cenário com apenas dois jogadores por exemplo, um jogo pode ser representado como uma matriz quadrada 2x2.

Um jogo pode ser definido na forma normal como uma tupla $(N,A,u)$, onde temos que:

• $N$ é um conjunto finito de $n$ jogadores
• $A$ é o espaço de ações do jogadores, representado como o produto cartesiano de todos os conjunto de ações disponíveis para cada jogador, $A=A1\times A2\times ...\times An$, em que $Ai$ é um conjunto de ações disponíveis para um dado jogador $i$
• $a$ é um perfil de ações $a=(a1,a2,...,an)\in A$,  representado como um vetor de combinação de escolhas específicas de ação para cada jogador
• $U$ é o vetor de utilidades dos jogadores $U=(U1,U2,...,Un)$, onde $Ui:A\rightarrow R$ é a função utilidade do jogador $i$.

Exemplo prático (dilema do prisioneiro):

Considere abaixo a seguinte instância do dilema do prisioneiro, um jogo simples de dois jogadores onde ambos podem escolher entre duas ações, cooperar ($C$) ou delatar ($D$).

$1/2$	$C$	$D$
$C$	$-1,1$	$-4,0$
$D$	$0,-4$	$-3,-3$

temos que nosso conjunto de jogadores é $N=\{1,2\}$, que nosso espaço de ação é $A=A1\times A2$, onde o conjunto de ações para o jogador 1 é $A1=\{C,D\}$, e para o jogador 2 é $A2=\{C,D\}$, e que nosso conjunto de perfis de ações possíveis é $A=\{(C,C),(C,D),(D,C),(D,D)\}$.

vamos analisar a utilidade dos jogadores para o perfil de ação onde o jogador 1 escolhe cooperar enquanto o jogador decide delatar, $a=\{(C,D)\}$, temos que a função utilidade será $U(a)=(-4,0)$, onde $u1(a)=-4$, e $u2(a)=0$.