CCT-UFCA/Ciência da Computação/Introdução à Teoria dos Jogos/Mapeamento de jogos de soma constante em soma zero

Mapeamento de jogos de soma constante em jogos de soma zero

Como visto anteriormente um jogo de soma zero consiste em um jogo cuja soma de utilidades de todos os jogadores para cada um dos cenários possíveis resulta em zero. De maneira complementar, em um jogo de soma constante a soma das utilidades dos jogadores para cada um dos cenários possíveis resulta em uma constante qualquer $C$.

Considerando que as características e propriedades de um jogo são preservadas ao somar ou subtrair uma constante de todas as suas utilidades, temos que todo jogo de soma constante pode ser reduzido a um jogo de soma zero, isso é especialmente útil do ponto de visto analítico e computacional devido a quantidade de ferramentas matemáticas e soluções simplificadas dedicadas a eles.

Para mapear um jogo de soma constante em um jogo de soma zero basta transformar o valor de utilidade de cada jogador subtraindo o mesmo por ${C \over 2}$, repetindo isso para cada perfil de ação existente do jogo.

Exemplo 1: considere o jogo abaixo:

1/2	Filme	Casa
Filme	$3,0$	$1,2$
Casa	$2,1$	$0,3$

Esse jogo é do tipo de soma constante pois para cada cenário a soma dos valores de utilidade de todos os jogadores corresponde a 3. Analisando o mesmo mais a fundo podemos constatar que seu equilíbrio de nash puro corresponde ao perfil ({Filme, Casa}), pois para esse cenário nenhum jogador consegue melhorar sua utilidade mudando de ação sozinho. Vamos transformar esse jogo em um jogo de soma zero para verificar se o seu equilíbrio de nash se mantém.

Com valor da constante igual a 3 precisaremos subtrair de cada utilidade o valor 1,5; efetuando esse processo em todos os perfis de ação chegaremos ao seguinte resultado:

1/2	Filme	Casa
Filme	$1,5;-1,5$	$-0,5;0,5$
Casa	$0,5;-0,5$	$-1,5;1,5$

Analisando o jogo resultante podemos observar que o perfil ({Filme, Casa}) se mantém como o único cenário em que nenhum jogador consegue melhorar sua utilidade mudando de ação unilateralmente, logo o equilíbrio de nash se manteve, evidenciando o caráter de imutabilidade derivado do processo de transformação do jogo de soma constante em soma zero.