CCT-UFCA/Matemática Computacional/Análise I

Programa do Componente Curricular

Código:	MC0019
Componente Curricular:	Análise I
Semestre de Oferta:	5		Tipo:	Disciplina	Caráter:	Obrigatória
Unidade Acadêmica Responsável:	Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Área:	Matemática
Créditos:	6	Carga horária:	96	Teórica:	96	Prática	-	Extensão:	-
Pré-requisito:	MC0011 - Cálculo Vetorial
Co-requisito:
Equivalência:

Ementa

A disciplina de Análise I aborda os fundamentos teóricos do cálculo diferencial e integral, explorando conceitos rigorosos de limites, continuidade, convergência e integração. O curso inclui o estudo de sequências e séries de números reais, funções contínuas e diferenciáveis e integração segundo Riemann.

Conteúdo

• Números Reais e Topologia da Reta:
  • Axiomas dos números reais.
  • Conjuntos limitados, supremo e ínfimo.
  • Conjuntos abertos, fechados e compactos.
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass.
• Sequências e Séries de Números Reais:
  • Limite de sequências e propriedades.
  • Critérios de convergência (Teorema do Confronto, Monotonicidade).
  • Séries numéricas: convergência absoluta e condicional.
  • Testes de convergência (comparação, razão, raiz, Leibniz).
• Limite e Continuidade de Funções:
  • Definição formal de limite.
  • Funções contínuas e propriedades.
  • Teorema do Valor Intermediário e Teorema de Weierstrass.
• Diferenciação:
  • Derivada e interpretação geométrica.
  • Teoremas do Valor Médio (Rolle, Lagrange, Cauchy).
  • Regra de L'Hôpital.
• Integração (Riemann):
  • Teorema Fundamental do Cálculo.
  • Teoremas de integração (mudança de variáveis, integração por partes).
• Sequências e Séries de Funções:
  • Convergência pontual e uniforme.
  • Teoremas de continuidade, derivação e integração de séries.
  • Séries de potências e séries de Taylor.

Metodologia

A disciplina será ministrada por meio de aulas teóricas, nas quais serão apresentados os conceitos fundamentais com demonstrações rigorosas, e aulas práticas, com resolução de exercícios que reforcem o entendimento. Serão propostos problemas desafiadores para desenvolver o raciocínio analítico, além de seminários sobre tópicos avançados.

Avaliação

A avaliação dos alunos pode ser composta por diferentes métodos, incluindo provas teóricas que abrangem os conteúdos teóricos estudados ao longo do curso. Alternativamente, a avaliação pode incluir tanto provas teóricas quanto trabalhos, que podem ser individuais ou em grupo. Além disso, a participação dos alunos nas aulas e a realização dos exercícios propostos podem ser considerados como parte da avaliação contínua. A participação nas aulas pode ou não ser um critério de avaliação, dependendo dos critérios estabelecidos pelo professor.

Bibliografia básica

1. LIMA, E. L. Análise Real (Vol. 1). Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2004.
2. FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Editora LTC, 1996.
3. RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976.

Bibliografia complementar

1. BARTLE, R. G.; SHERBERT, D. R. Introduction to Real Analysis. Wiley, 2011.
2. PUGH, C. C. Real Mathematical Analysis. Springer, 2002.
3. ABBOTT, S. Understanding Analysis. Springer, 2015.