CCT-UFCA/Matemática Computacional/Cálculo II/Aplicações da Integral

Cálculo de áreas e volumes

Cálculo de Áreas:

A integral definida pode ser usada para calcular a área sob uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre dois pontos 𝑎 e 𝑏:

$A=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

Exemplo: Calcular a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥² entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1:

 $A=\int \limits _{0}^{1}x^{2}dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}$

Portanto, a área é  ${\frac {1}{3}}$ .

Cálculo de Volumes:

A integral pode ser usada para calcular o volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos ou dos anéis.

Método dos Discos: Para uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) rotacionada em torno do eixo 𝑥:

$V=\pi \int \limits _{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$

Exemplo: Calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da parábola 𝑦 = 𝑥² em torno do eixo 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1:

 $V=\pi \int _{0}^{1}(x2)2\,dx=\pi \int _{0}^{1}x^{4}\,dx=\pi \left[{\frac {x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}=\pi \cdot {\frac {1}{5}}={\frac {\pi }{5}}$

Portanto, o volume é  ${\frac {\pi }{5}}$  unidades cúbicas.

Momento e centroide

Momento:

O momento de uma área plana em relação ao eixo 𝑥 ou 𝑦 é uma medida da distribuição da área em torno desse eixo.

Momento em relação ao eixo 𝑦: $M_{y}=\int \limits _{a}^{b}xf(x)dx$

Momento em relação ao eixo 𝑥: $M_{x}=\int \limits _{a}^{b}{\frac {1}{2}}[f(x)]^{2}dx$

Exemplo: Calcular o momento em relação ao eixo 𝑦 para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 2:

 $M_{y}=\int \limits _{0}^{2}x*xdx=\int \limits _{0}^{2}x^{2}dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}={\frac {2^{3}}{3}}-0={\frac {8}{3}}$

Centroide:

O centroide de uma área plana é o ponto em que a área poderia ser equilibrada se fosse um objeto físico.

Coordenadas do centroide $({\bar {x}},{\bar {y}})$ :

${\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int \limits _{a}^{b}xf(x)dx$ ${\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int \limits _{a}^{b}{\frac {1}{2}}[f(x)]^{2}dx$

Exemplo: Encontrar o centroide da região sob 𝑓(𝑥) = 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 2:

 $A=\int \limits _{0}^{2}xdx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{2}=2$      ${\bar {x}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{2}x^{2}dx={\frac {1}{2}}*{\frac {8}{3}}={\frac {4}{3}}$      ${\bar {y}}={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{2}x^{2}dx={\frac {1}{4}}*{\frac {8}{3}}={\frac {2}{3}}$

Portanto o centroide é  $\left({\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$

Aplicações físicas e geométricas

Cálculo do Trabalho:

O trabalho realizado por uma força constante 𝐹 ao mover um objeto por uma distância 𝑑 é dado por 𝑊 = 𝐹⋅𝑑.

Para uma força variável, o trabalho é calculado por: $W=\int \limits _{a}^{b}F(x)dx$

Exemplo: Calcular o trabalho realizado por uma força 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ao mover um objeto de 𝑥 = 1 a 𝑥 = 4:

 $W=\int \limits _{1}^{4}3xdx=3\int \limits _{1}^{4}xdx=3\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{4}=3\left({\frac {16}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=3*{\frac {15}{2}}={\frac {45}{2}}$

Portanto, o trabalho realizado é  ${\frac {45}{2}}$ .

Cálculo de Comprimento de Arco:

O comprimento de arco de uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝑥 = 𝑎 a 𝑥 = 𝑏 é dado por:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

Exemplo: Calcular o comprimento de arco da curva 𝑦 = 1/3𝑥³ de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1:

 ${\frac {dy}{dx}}=x^{2}$

 $L=\int _{0}^{1}{\sqrt {1+(x2)2}}\,dx=\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{4}}}\,dx$

Para resolvermos essa integral numericamente, podemos usar métodos como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson.

Por Regra de Simpson:  $\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{4}}}\,dx\approx {\frac {1-0}{6}}\left(1+4*{\frac {\sqrt {17}}{4}}+{\sqrt {2}}\right)$

 $\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{4}}}\,dx\approx {\frac {1}{6}}\left(1+4.123+1.414\right)\approx 1.0895$

Portanto, a integral  $\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{4}}}\,dx$  é é aproximadamente 1.0895 usando a Regra de Simpson.