CCT-UFCA/Matemática Computacional/Cálculo II/Integrais Impróprias

Definição e classificação

Definição de Integrais Impróprias:

As integrais impróprias ocorrem quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada possui descontinuidades no intervalo.

Existem dois tipos principais de integrais impróprias:

Integrais com limites de integração infinitos:

Exemplo:  $\int \limits _{1}^{\infty }{1 \over x^{2}}dx$

Integrais com descontinuidade no intervalo de integração:

Exemplo:  $\int \limits _{0}^{1}{1 \over {\sqrt {x}}}dx$

Critérios de convergência

Convergência de Integrais com Limites Infinitos:

Para verificar a convergência de uma integral imprópria com limite infinito, substituímos o limite infinito por uma variável 𝑏 e tomamos o limite quando 𝑏 tende ao infinito: $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

Exemplo: Verificar a convergência de :  $\int \limits _{1}^{\infty }{1 \over x^{2}}dx$

 $\int \limits _{1}^{\infty }{1 \over x^{2}}dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}{1 \over x^{2}}dx$

Calculando a integral:  $\int {1 \over x^{2}}dx=-{1 \over x}$

Avaliando o limite:  $\lim _{b\to \infty }{\Bigl (}-{1 \over b}+{1 \over 1}{\Bigr )}=1$

Portanto, a integral converge para 1.

Convergência de Integrais com Descontinuidade:

Para verificar a convergência de uma integral imprópria com descontinuidade, dividimos o intervalo em partes que evitem a descontinuidade e tomamos o limite apropriado.

$\int f(x)dx$ onde 𝑓(𝑥) é descontínua em 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 = $\int \limits _{a}^{c-\epsilon }f(x)dx+\int \limits _{c+\epsilon }^{b}f(x)dx$

e depois tomamos o limite quando 𝜖 → 0

Exemplo: Verificar a convergência de  $\int \limits _{0}^{1}{1 \over {\sqrt {x}}}dx$ :

 $\int \limits _{0}^{1}{1 \over {\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int \limits _{\epsilon }^{1}{1 \over {\sqrt {x}}}dx$

Calculando a integral:  $\int {1 \over {\sqrt {x}}}dx=2{\sqrt {x}}$

Avaliando o limite:  $\lim _{\epsilon \to 0^{+}}(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {\epsilon }})=2-0=2$

Portanto, a integral converge para 2.

Cálculo de integrais impróprias

Integrais com Limites Infinitos:

Exemplo: Calcular  $\int \limits _{2}^{\infty }{1 \over x^{3}}dx$

 $\int \limits _{2}^{\infty }{1 \over x^{3}}dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{2}^{b}{1 \over x^{3}}dx$

Calculando a integral:  $\int {1 \over x^{3}}dx=-{1 \over 2x^{2}}$

Avaliando o limite:  $\lim _{b\to \infty }{\Bigl (}-{1 \over 2b^{2}}+{1 \over 2*2^{2}}{\Bigr )}=0+{1 \over 8}={1 \over 8}$

Portanto, a integral converge para  ${1 \over 8}$ .

Integrais com Descontinuidade:

Exemplo: Calcular  $\int \limits _{1}^{2}{1 \over (x-1)^{2/3}}dx$ :

 $\int \limits _{1}^{2}{1 \over (x-1)^{2/3}}dx=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int \limits _{1+\epsilon }^{2}{1 \over (x-1)^{2/3}}dx$

Calculando a integral:  $\int {1 \over (x-1)^{2/3}}dx=\int {(x-1)^{-2/3}}dx={(x-1)^{1/3} \over 1/3}=3(x-1)^{1/3}$

Avaliando o limite:  $\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[3(x-1)^{1/3}\right]{1+\epsilon }^{2}=\lim {\epsilon \to 0^{+}}\left(3(2-1)^{1/3}-3\epsilon ^{1/3}\right)=3-0=3$

Portanto, a integral converge para 3.