CCT-UFCA/Matemática Computacional/Cálculo I/Teorema do Valor Médio

Enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM)

O Teorema do Valor Médio é um dos resultados fundamentais do cálculo diferencial. Ele afirma que, para uma função contínua em um intervalo fechado [𝑎,𝑏] e derivável em um intervalo aberto (𝑎,𝑏), existe pelo menos um ponto 𝑐 ∈ (𝑎,𝑏) tal que:

$f^{'}(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

O TVM garante que, em algum ponto do intervalo, a taxa de variação instantânea da função (𝑓′(𝑐)) é igual à taxa de variação média da função no intervalo [𝑎,𝑏]. Condições necessárias:

1. 𝑓(𝑥) é contínua em [𝑎,𝑏].
2. 𝑓(𝑥) é derivável em (𝑎,𝑏).

Aplicações do Teorema do Valor Médio

Verificação de taxas de variação:

Na física, o TVM é usado para analisar a velocidade instantânea. Por exemplo, se 𝑠(𝑡) é a posição de um objeto no tempo, o teorema garante que em algum instante 𝑡 = 𝑐, a velocidade instantânea (𝑠′(𝑡)) será igual à velocidade média no intervalo dado.

Exemplo: Um carro está se deslocando por uma estrada reta. Sua posição em função do tempo é dada pela função 𝑠(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡, onde 𝑠(𝑡) é medido em metros e 𝑡 em segundos. Queremos verificar a aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo de tempo de 
𝑡 = 1 a 𝑡 = 4.

${\text{Velocidade média = }}{\frac {s(4)-s(1)}{4-1}}$

𝑠(4) = (4)2 + 3(4) = 16 + 12 = 28
𝑠(1) = (1)2 + 3(1) = 1 + 3 = 4

${\text{Velocidade média = }}{\frac {28-4}{4-1}}=8m/s$

A velocidade instantânea é dada pela derivada da função 𝑠(𝑡):
$s^{'}(t)={\frac {d}{dt}}[t^{2}+3t]=2t+3$

Igualamos 𝑠′(𝑐) à velocidade média: 𝑠′(𝑐) = 8  ⟹  2𝑐 + 3 = 8

Resolvendo para 𝑐: 2𝑐 = 8 − 3  ⟹  2𝑐 = 5  ⟹  𝑐 = 5/2 = 2,5

O TVM garante que, em algum instante 𝑐 = 2,5s, a velocidade instantânea do carro (𝑠′(𝑡)) foi exatamente igual à velocidade média de 8m/s no intervalo 𝑡 ∈ [1,4].

Prova de desigualdades:

Vamos utilizar o Teorema do Valor Médio (TVM) para provar a seguinte desigualdade:

𝑒^𝑏 − 𝑒^𝑎 > (𝑏 − 𝑎), para todo 𝑏>𝑎 e 𝑎,𝑏 ∈ 𝑅.

Seja 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. Sabemos que: 𝑓(𝑥) é contínua e derivável em todo 𝑅, satisfazendo as condições do TVM.

Pelo TVM, existe 𝑐 ∈ (𝑎,𝑏) tal que: $f^{'}(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Como 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, sua derivada é 𝑓'(𝑥) = 𝑒𝑥. Logo: $e^{c}={\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}$

Sabemos que 𝑒𝑥 é uma função estritamente crescente em 𝑅, o que implica que: 𝑒𝑐 > 1, para todo 𝑐 ∈ (𝑎,𝑏).

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por (𝑏 − 𝑎) > 0:

𝑒𝑐⋅(𝑏 − 𝑎) > 1⋅(𝑏 − 𝑎)  ⟹  𝑒𝑏 - 𝑒𝑎 > (𝑏 − 𝑎).

Portanto, a desigualdade é provada usando o TVM.

Referências

1. https://www.geeksforgeeks.org/mean-value-theorem/