CCT-UFCA/Matemática Computacional/Introdução à Teoria dos Números

Programa do Componente Curricular

Código:	MC0021
Componente Curricular:	Introdução à Teoria dos Números
Semestre de Oferta:	5		Tipo:	Disciplina	Caráter:	Obrigatória
Unidade Acadêmica Responsável:	Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Área:	Matemática
Créditos:	4	Carga horária:	64	Teórica:	64	Prática	-	Extensão:	-
Pré-requisito:
Co-requisito:
Equivalência:

Ementa

- Os números inteiros;

- Princípios de boa ordenação e de indução;

- Divisibilidade;

- Algorítmo de Euclides;

- Números primos;

- Teorema Fundamental da Aritmética;

- Congruências;

- Aritmética Modular;

- Equações Diofantinas;

- Teoremas de Fermat, Euler e Wilson;

- Congruências de grau 1;

- Teorema chinês dos resíduos;

- Congruências de grau superior a 1;

- Teorema de Lagrange;

- Raízes primitivas;

- Funções importantes da Teoria dos Números;

- Aplicações da Teoria dos Números (sistemas de identificação e criptografia de chave pública).

Conteúdo

• Linguagem Matemática
• O Anel dos Inteiros
  • Axiomas de Adição;
  • Axiomas de Multiplicação;
  • Ordem em ℤ.
• Divisibilidade e Números Primos:
  • Divisibilidade;
  • Máximo Divisor Comum (MDC), propriedades e Algoritmo de Euclides;
  • Teorema Fundamental da Aritmética;
  • Números primos;
  • O Mínimo Múltiplo Comum.
• Congruências e Aritmética Modular:
  • Definição e propriedades básicas;
  • Teoremas e Proposições importantes;
  • Teoremas de Wilson, Fermat (pequeno) e Euler;
  • Teorema Chinês dos Restos.
• Funções Aritméticas:
  • Função φ de Euler, função τ (número de divisores), função σ (soma de divisores);
  • Multiplicatividade e fórmulas explícitas.
• Equações Diofantinas:
  • Equações lineares e não-lineares;
  • Métodos de resolução e aplicações históricas.
• Resíduos Quadráticos e Reciprocidade Quadrática:
  • Símbolo de Legendre e Lei de Reciprocidade Quadrática;
  • Aplicações em testes de primalidade.

Metodologia

A disciplina é ministrada por meio de aulas teóricas, nas quais serão apresentados os conceitos fundamentais com demonstrações e exemplos que reforcem o entendimento.

Avaliação

A avaliação é, majoritariamente, composta por 2 provas, P1 e P2, nas quais são cobrados conteúdos teóricos (demonstração de teoremas, lemas, proposições, corolários, etc.) e, em algumas situações, trabalhos para auxiliar nas notas de cada avalação. Além disso, a participação dos alunos nas aulas e a realização dos exercícios propostos podem ser considerados como parte da avaliação contínua.

Bibliografia básica

1. SANTOS, J. P. O. Introdução à Teoria dos Números. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2007.
2. HEFEZ, A. Curso de Aritmética. Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
3. ROSEN, K. H. Elementary Number Theory and Its Applications. 6ª ed. Pearson, 2010.

Bibliografia complementar

1. HARDY, G. H.; WRIGHT, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. 6ª ed. Oxford University Press, 2008.
2. COUTINHO, S. C. Números Inteiros e Criptografia RSA. Sociedade Brasileira de Matemática, 2000.
3. CRANDALL, R.; POMERANCE, C. Prime Numbers: A Computational Perspective. 2ª ed. Springer, 2005.