Lógica Matemática/Cálculo Proposicional

Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .

Proposição

Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Como exemplo de proposições temos:

• A terra é redonda.

• O dado é quadrado.

As proposições, de acordo com a lógica clássica, devem observar os seguintes princípios (entre outros):

• Príncipio da não-contradição: uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo.
• Príncipio do terceiro excluído: uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.

Símbolos

Variáveis proposicionais

Dentro da lógica proposicional cada proposição é considerado um elemento simples (átomo), representado com uma letra minúscula a partir do p. (Por exemplo, p, q e outros).

Conectivos lógicos

As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.

Valor lógico	Símbolo	Expressão	Observação
Negação	$\not$ , ¬ , ~ ou '	não, é falso, não é verdade que	inverte o valor da proposição
Conjunção	$\land$	e, mas , também, além disso	nenhuma
Disjunção	$\lor$	ou	não confundir com o ou exclusivo
Condicional	$\to$	se...então, implica, logo, somente se	nenhuma
Bi-condicional	$\leftrightarrow$	...se, e somente se...; ...é condição necessária que ...	nenhuma

Uma cadeia que forma uma expressão válida (isto é, que ofereça um valor F ou V de retorno) é chamada de fórmula bem-formulada (fbf).

Tabelas-verdades

Tabelas-verdades são matrizes de V ou F que uma proposição assume de acordo com o conectivo lógico associado a ele. Utilizaremos a letra p para representar o uso de conectivos sobre apenas uma proposição, e p e q quando o conectivo age sobre duas proposições.

Conjunção

p	q	p $\land$q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disjunção

p	q	p $\lor$q
V	V	v
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional

p	q	p $\rightarrow$q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bi-condicional

p	q	p $\leftrightarrow$q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Disjunção-exclusiva

p	q	p $\lor$q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Proposições compostas

Uma proposição composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. Ex: P: p$\land$q ou P (p,q):p,q. Para n proposições simples com possibilidades V e F, considera-se que a tabela-verdade que os combina terá $2^{n}$ linhas.

Tautologia

Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Verdadeiras (V).

Contradição

Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Falsas (F).

Contingência

Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.

Implicação

Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. Ou seja, dadas duas proposições P e Q, P implica Q todas as vezes que ambos os lados aparecerem Ve.

p	q	(P) p$\land$q	(Q)p$\lor$q	(R) p$\leftrightarrow$q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	F	V

Equivalência lógica

Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. A equivalência lógica é representada por ($\Longleftrightarrow$)...,,

Resumo

• Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
• Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo e uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.
• As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
• Uma Proposição Composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula.
• Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são V.
• Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são F.
• Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
• Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira.
• Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas.

Bibliografia

• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Introduction to Mathematical Logic
• Elements of Propositional Calculus

• forall x: an introduction to formal logic, por P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.

• Lógica: Cálculo Proposicional Clássico