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Números Reais

O conjunto dos números reais $\mathbb {R} \,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de fracções associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito. Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Propriedades

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, $\mathbb {R} \,$ tem a seguinte propriedade:

• Se $\mathbb {R} \,$ for dividido em dois conjuntos (uma [partição]) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

$\forall A,B,(\mathbb {R} =A\cup B\land (\forall a\in A,b\in B,(a<b))\implies (\exists x,(\forall a\in A,b\in B\implies a\leq x\leq b))\,$

• O conjunto dos números reais é um conjunto aberto e também um conjunto fechado