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Progressão Geométrica é toda e qualquer sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão da P.G. e indicada pela letra Q. Portanto, se (A1, A2, A3, ..., An-1, An) é uma P.G. de razão Q, então:
An = An-1.Q ou A2/A1 = A3/A2 = ... = An/An-1 = Q
Classificação
[editar | editar código-fonte]- Crescente: Quando A1 > 0 e Q > 1 ou A 1 < 0 e 0 < Q < 1.
- Decrescente: Quando A1 > 0 e 0 < Q < 1 ou A1 < 0 e Q > 1.
- Constante: Quando Q = 1.
- Alternante: Quando Q < 0. (Os termos positivos e negativos se alternam)
- Singular: Quando possui termo nulo.
Fórmula do termo geral da P.G.
[editar | editar código-fonte]An = A1.Q, A3 = A2.Q = A1.Q2, A4 = A3.Q = A1.Q3, ...
Logo se deduz: An = A1.Qn-1
Donde:
- An = n-ésimo termo (ou termo geral)
- A1 = 1º termo
- Q = razão
- N = nº de termos
Soma dos termos
[editar | editar código-fonte]P.G. finita
[editar | editar código-fonte]- ou Sn = [AnQ-A1]/(Q-1)
P.G. infinita
[editar | editar código-fonte]Considerando-se um segmento unitário e dividindo sempre ao meio a última parte obtida, sucessivamente, temos: |========|====|==|=|···|
Observa-se que as partes obtidas formam a P.G. (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...). de razão Q = 1/2, cuja soma termos será Sn = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 (segmento dado). Isto nos mostra que para um nº de termos muito elevado, tendendo a infinito, a soma tende ao valor 1.
Dada a P.G. infinita de razão Q != 0, para se determinar a coma S dos seus infinitos termos, temos:
- Se -1 < Q < 1 ou Q > 1 (|Q| > 1), S tende a -infinito ou +infinito, sendo impossível a determinação de S.
- Se -1 < Q < 1 (|Q| < 1), S tende ou converge para um valor finito, portanto, possível de ser calculado.
Neste caso, temos: Sn = [An - A1]/(Q-1) ou Sn = [AnQ]/(Q-1) - A1/(Q-1)
Observa-se que para n tendendo a infinito (n -> infinito), An decresce. Tendendo a zero (An -> 0) e o termo (AnQ)/(Q-1) também tenderá a zero e a expresssão de Sn tenderá a: