Saltar para o conteúdo

Portal:Formação Intermediária/Matemática/Progressões/Progressões Geométricas

Fonte: Wikiversidade

Progressão Geométrica é toda e qualquer sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão da P.G. e indicada pela letra Q. Portanto, se (A1, A2, A3, ..., An-1, An) é uma P.G. de razão Q, então:

An = An-1.Q ou A2/A1 = A3/A2 = ... = An/An-1 = Q

Classificação

[editar | editar código-fonte]
  • Crescente: Quando A1 > 0 e Q > 1 ou A 1 < 0 e 0 < Q < 1.
  • Decrescente: Quando A1 > 0 e 0 < Q < 1 ou A1 < 0 e Q > 1.
  • Constante: Quando Q = 1.
  • Alternante: Quando Q < 0. (Os termos positivos e negativos se alternam)
  • Singular: Quando possui termo nulo.

Fórmula do termo geral da P.G.

[editar | editar código-fonte]

An = A1.Q, A3 = A2.Q = A1.Q2, A4 = A3.Q = A1.Q3, ...

Logo se deduz: An = A1.Qn-1

Donde:

  • An = n-ésimo termo (ou termo geral)
  • A1 = 1º termo
  • Q = razão
  • N = nº de termos

Soma dos termos

[editar | editar código-fonte]
ou Sn = [AnQ-A1]/(Q-1)

P.G. infinita

[editar | editar código-fonte]

Considerando-se um segmento unitário e dividindo sempre ao meio a última parte obtida, sucessivamente, temos: |========|====|==|=|···|

Observa-se que as partes obtidas formam a P.G. (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...). de razão Q = 1/2, cuja soma termos será Sn = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 (segmento dado). Isto nos mostra que para um nº de termos muito elevado, tendendo a infinito, a soma tende ao valor 1.

Dada a P.G. infinita de razão Q != 0, para se determinar a coma S dos seus infinitos termos, temos:

  • Se -1 < Q < 1 ou Q > 1 (|Q| > 1), S tende a -infinito ou +infinito, sendo impossível a determinação de S.
  • Se -1 < Q < 1 (|Q| < 1), S tende ou converge para um valor finito, portanto, possível de ser calculado.

Neste caso, temos: Sn = [An - A1]/(Q-1) ou Sn = [AnQ]/(Q-1) - A1/(Q-1)

Observa-se que para n tendendo a infinito (n -> infinito), An decresce. Tendendo a zero (An -> 0) e o termo (AnQ)/(Q-1) também tenderá a zero e a expresssão de Sn tenderá a: