Introdução ao Cálculo/Análise de funções elementares II

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

<< Análise de funções elementares I

Técnicas de integração >>

Trigonométricas II

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

Tangente e secante

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois excencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por $[\cos(\alpha ),\ {\mbox{sen}}(\alpha )]$ e o valor inicial $(\Delta x)$ é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

$\ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

que é:

$\ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?

Para definir h, a hipotenusa, façamos :

$h^{2}(x)=1^{2}+\ {\mbox{tg}}^{2}(x)$

$h^{2}(x)=1^{2}+{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

$h^{2}(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

Da identidade relacional temos:

$h^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

portanto:

$h(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

Identidades (2)

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

I-14 Relacionando tangente e secante

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre $\ {\mbox{tg}}(x)\ e\ \sec(x)$ podemos afirmar que:

$1+\ {\mbox{tg}}^{2}(x)=\sec ^{2}(x)$

Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

I-15 Tangente da diferença

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$

Comprovação:

Considerando a definição da tangente temos:

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a-b)}{\cos(a-b)}}$

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)-\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}}$

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}}{{\frac {\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}}+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}$

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}}$

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}-{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}{1+{\frac {\ {\mbox{sen}}(a)}{\cos(a)}}{\frac {\ {\mbox{sen}}(b)}{\cos(b)}}}}$

Resultando em:

$\ {\mbox{tg}}(a-b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$

O que comprova a identidade.

I-16 Tangente da soma

$\ {\mbox{tg}}(a+b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)+\ {\mbox{tg}}(b)}{1-\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$

Comprovação:

Admitamos $b=-b$ e teremos pela tangente da diferença:

$\ {\mbox{tg}}(a-(-b))={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)-\ {\mbox{tg}}(-b)}{1+\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(-b)}}$

Considerando que a tangente é:

$\ {\mbox{tg}}(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

$\ {\mbox{tg}}(a+b)={\frac {\ {\mbox{tg}}(a)+\ {\mbox{tg}}(b)}{1-\ {\mbox{tg}}(a)\ {\mbox{tg}}(b)}}$

O que comprova a identidade.

Derivada da tangente

Seja $f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)$, uma função contínua em $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$, visto que $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\ {\mbox{tg}}(x)\quad \not \exists$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$

logo, pela derivada da razão:

$f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}$

$f\ '(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

$f\ '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

Portanto:

$f\ '(x)=\sec ^{2}(x)$

Derivada da secante

Seja $f(x)=\sec(x)$, uma função contínua em $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$, visto que $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\sec(x)\quad \not \exists$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

logo, pela derivada da razão:

$f\ '(x)={\frac {\cos(x)\cdot (0)-1\cdot (-\ {\mbox{sen}}(x))}{\cos ^{2}(x)}}$

$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}\cdot {\frac {1}{\cos(x)}}$

O que nos revela:

$f\ '(x)=\ {\mbox{tg}}(x)\sec(x)$

Integral da tangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{tg}}(x)\,\!$, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

$F(x)=\int \ {\mbox{tg}}(x)dx$

$F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}dx$

Por outro lado, se:

$u=\cos(x)\,\!$

$du=-\ {\mbox{sen}}(x)dx\,\!$

O que nos possibilita afirmar que:

$F(x)=-\int {\frac {du}{u}}$

$F(x)=-\ln |\cos(x)|\,\!$

$F(x)=\ln \left|{\frac {1}{\cos(x)}}\right|$

Portanto:

$F(x)=\ln |\sec(x)|+C\,\!$

Integral da secante

Seja a função $f(x)=\sec(x)$, dizemos que sua integral é a função $F(x)$ e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

$F(x)=\int \sec(x)dx$

multiplicando e dividindo $\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$:

$F(x)=\int {\frac {\sec ^{2}(x)+\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)}{\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)}}dx$

Por outro lado, se:

$u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$,

$du=[\sec(x)\ {\mbox{tg}}(x)+\sec ^{2}(x)]dx$

logo, por substituição, temos:

$\int {\frac {du}{u}}$, sendo $u=\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)$, o que nos permite fazer:

$F(x)=\ln |u|$

Portanto:

$F(x)=\ln |\sec(x)+\ {\mbox{tg}}(x)|+C$

Cotangente e cossecante

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:

Ficheiro:Trigonofuncs.png

Figura 8

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

${\frac {1}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$

O que nos revela:

$\ {\mbox{cotg}}(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

${\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)}}$

${\frac {1}{\ {\mbox{cosec}}(x)}}=\cos(x){\frac {\ {\mbox{sen}}(x)}{\cos(x)}}$

Que define a cossecante como:

$\ {\mbox{cosec}}(x)={\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Identidades (3)

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

Conseqüentes das definições:

$\ {\mbox{sen}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)=1$

$\cos(x)\sec(x)=1\,\!$

${\mbox{tg}}(x)\ {\mbox{cotg}}(x)=1$

Derivada da cotangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)$, considerando que:

$f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)[-\ {\mbox{sen}}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$

$f\ '(x)=-{\frac {\ {\mbox{sen}}^{2}(x)+cos^{2}(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$

$f\ '(x)=-{\frac {1}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$

Portanto:

$f\ '(x)=-\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)$

Derivada da cossecante

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)$, considerando que:

$f(x)={\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

$f\ '(x)={\frac {\ {\mbox{sen}}(x)\cdot 0-1\cdot \cos(x)}{\ {\mbox{sen}}^{2}(x)}}$

$f\ '(x)={\frac {-\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}\cdot {\frac {1}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Portanto:

$f\ '(x)=-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)$

Integral da cotangente

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotg}}(x)$, considerando que:

$f(x)={\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}$

Sua integral é:

$F(x)=\int \ {\mbox{cotg}}(x)dx$

$F(x)=\int {\frac {\cos(x)}{\ {\mbox{sen}}(x)}}dx$

Sendo $u=\ {\mbox{sen}}(x)$:

$du=\cos(x)dx$

Logo:

$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$

E, por substituição:

$F(x)=\ln |\ {\mbox{sen}}(x)|+C$

Integral da cossecante

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cosec}}(x)$,

Sua integral é:

$F(x)=\int \ {\mbox{cosec}}(x)dx$

Sendo $u=\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)$:

$du=[\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)]dx$

Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:

$F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{cosec}}^{2}(x)-\ {\mbox{cotg}}(x)\ {\mbox{cosec}}(x)}{\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)}}dx$

Logo:

$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$

E, por substituição:

$F(x)=\ln |\ {\mbox{cotg}}(x)-\ {\mbox{cosec}}(x)|+C$

---

Inversas das trigonométricas

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a $arcfunc(x)$ é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

arcseno e arccosseno

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:

1. O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em $(-\infty ,\infty )$, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$, podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: $\left[0,\pi \right]$ também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:

$y=\ {\mbox{arcsen}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ {\mbox{sen}}(y)\land y\in \ \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$

Da mesma forma que:

$y=\ {\mbox{arccos}}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y)\land y\in \ \left[0,\pi \right]$

Derivadas do arcseno e arccosseno

Seja a função $y=\ {\mbox{arcsen}}(x)$, sendo a sua inversa:

$x=\ {\mbox{sen}}(y)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=\cos(y)dy$

${\frac {dx}{dy}}=\cos(y)$,

Por outro lado:

$\ {\mbox{sen}}^{2}(y)+\cos ^{2}(y)=1$

$\cos(y)={\sqrt {1-\ {\mbox{sen}}^{2}(y)}}$

$\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$

O que nos dá:

${\frac {dx}{dy}}={\sqrt {1-x^{2}}}$,

Logo:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Ainda temos que a função $z=\ {\mbox{arccos}}(x)$, sendo a sua inversa:

$x=\cos(z)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=-\ {\mbox{sen}}(z)dz$

${\frac {dx}{dz}}=-\ {\mbox{sen}}(z)$,

Por outro lado:

$\ {\mbox{sen}}^{2}(z)+\cos ^{2}(z)=1$

$\ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-\cos ^{2}(z)}}$

$\ {\mbox{sen}}(z)={\sqrt {1-x^{2}}}$

O que nos dá:

${\frac {dx}{dz}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}$,

Logo:

${\frac {dz}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Integrais do arcseno e arccosseno

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Arctangente e arccotangente

Definimos a função:

$y=arctg(x)$,

arctangente de x, como a inversa da função:

$x=tg(y)$, 

tangente de y, para todo o intervalo $(-\infty ,\infty )$, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

$z=arccotg(t)$,

arccotangente de t, como a inversa da função:

$t=cotg(z)$,

cotangente de z, para todo o intervalo $(-\infty ,\infty )$, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

Derivadas da arctangente e arccotangente

Seja a função $y=arctg(x)$, sendo a sua inversa:

$x=tg(y)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=sec^{2}(y)dy$

${\frac {dx}{dy}}=sec^{2}(y)$,

Por outro lado:

$sec^{2}(y)=1+tg^{2}(y)$

$sec^{2}(y)=1+x^{2}$

O que nos dá:

${\frac {dx}{dy}}=1+x^{2}$,

Logo:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Ainda temos que a função $z=arccotg(x)$, sendo a sua inversa:

$x=cotg(z)$.

Por outro lado:

$arccotg(z)={\frac {\pi }{2}}-arctg(z)$

O que nos dá:

${\frac {dz}{dx}}=0-{\frac {d[arctg(z)]}{dx}}$,

Logo:

${\frac {dz}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Integrais da arctangente e arccotangente

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Arcsecante e arccossecante

Definimos a função:

$y=\ {\mbox{arcsec}}(x)$,

arcsecante de x, como a inversa da função:

$x=\sec(y)\,\!$, 

secante de y, para os intervalos de x: $(-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\ {\mbox{arcsec}}(x)$ é relacionada a função $\ {\mbox{arccos}}(x)$ como segue:

$\ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arccos}}\left({\frac {1}{x}}\right)$

Do mesmo modo podemos definir a função:

$z=\ {\mbox{arccosec}}(t)$,

arccosecante de t, como a inversa da função:

$t=\ {\mbox{cosec}}(z)$,

cosecante de y, para os intervalos de x: $(-\infty ,-1]\quad ;\quad [1,\infty )$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\ {\mbox{arccosec}}(x)$ é relacionada a função $\ {\mbox{arcsen}}(x)$ como segue:

$\ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arcsen}}\left({\frac {1}{x}}\right)$

Derivadas da arcsecante e arccossecante

Seja a função:

$y=\ {\mbox{arcsec}}(x)$

que tem correspondência em:

$\ {\mbox{arcsec}}(x)=\ {\mbox{arccos}}\left({\frac {1}{x}}\right)$

Sendo:

${\frac {d[\ {\mbox{arccos}}(t)]}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}}}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {|x|}{x^{2}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Portanto:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

para $|x|>1$

Integrais da arcsecante e arccossecante

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Trigonométricas inversas como integrais algébricas

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\ {\mbox{arcsen}}(x)+C$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\ {\mbox{arctg}}(x)+C$

$\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\ {\mbox{arcsec}}(|x|)+C$

Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.

---

hiperbólicas

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais $e^{x}$ e $e^{-x}$, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

Seno e cosseno hiperbólicos

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole $y={\frac {1}{2x}}$, onde encontramos:

$\ {\mbox{senh}}(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente $e^{x}$ e uma exponencial decrescente $e^{-x}$ lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

Relacionando seno e cosseno hiperbólico

Considere a operação: $\cosh ^{2}(x)-\ {\mbox{senh}}^{2}(x)$,

Da definição temos:

$\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}$

${\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{4}}-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}}{4}}$

${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{4}}$

${\frac {4}{4}}$

logo:

$\cosh ^{2}(x)-\ {\mbox{senh}}^{2}(x)=1$

Derivada do seno hiperbólico

Seja a função seno hiperbólico $y=\ {\mbox{senh}}(x)$, podemos dizer que:

$y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

sendo:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-(-e^{-x}))$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$

Portanto:

${\frac {dy}{dx}}=\cosh(x)$

Derivada do cosseno hiperbólico

Seja a função cosseno hiperbólico $y=\cosh(x)$, podemos dizer que:

$y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

sendo:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}+(-e^{-x}))$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})$

Portanto:

${\frac {dy}{dx}}=\ {\mbox{senh}}(x)$

Integral do seno hiperbólico

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)dx$

$\int {\frac {1}{2}}e^{x}dx-\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx$

${\frac {1}{2}}e^{x}+{\frac {1}{2}}e^{-x}$

${\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Concluimos que:

$\int \ {\mbox{senh}}(x)=\cosh(x)+C$

Integral do cosseno hiperbólico

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)dx$

$\int {\frac {1}{2}}e^{x}dx+\int {\frac {1}{2}}e^{-x}dx$

${\frac {1}{2}}e^{x}-{\frac {1}{2}}e^{-x}$

${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Concluimos que:

$\int \cosh(x)=\ {\mbox{senh}}(x)+C$

Tangente e secante hiperbólicas

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:

$\ {\mbox{tgh}}(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

ou

$\ {\mbox{tgh}}(x)={\frac {\ {\mbox{senh}}(x)}{\cosh(x)}}$

A secante hiperbólica é definida como:

$\ {\mbox{sech}}(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

ou

$\ {\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}$

Relacionando tangente e secante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-\ {\mbox{tgh}}^{2}(x)$

$1-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\right)^{2}$

$1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}$

${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{e^{2x}+e^{-2x}+2}}$

${\frac {4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$

${\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$

Portanto:

$1-\ {\mbox{tgh}}^{2}(x)=\ {\mbox{sech}}^{2}(x)$

Derivada da tangente hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:

$y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)-\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\cosh ^{2}(x)\right)-\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}{\left(\cosh ^{2}(x)\right)}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$

Portanto:

${\frac {dy}{dx}}=\ {\mbox{sech}}^{2}(x)$

Derivada da secante hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{sech}}(x)$, temos:

$y={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

e finalmente:

${\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{sech}}(x)\ {\mbox{tgh}}(x)$

Integral da tangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:

$F(x)=\int {\frac {\ {\mbox{senh}}(x)}{\cosh(x)}}dx$

Se fizermos:

$u=\cosh(x)$

$du=\ {\mbox{senh}}(x)dx$

verificamos:

$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$

$F(x)=\ln |u|$

e finalmente:

$F(x)=\ln |\cosh(x)|+C\,\!$

Integral da secante hiperbólica

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Cotangente e cossecante hiperbólicas

A cotangente hiperbólica é definida como:

$\ {\mbox{cotgh}}(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

ou

$\ {\mbox{cotgh}}(x)={\frac {\cosh(x)}{\ {\mbox{senh}}(x)}}$

A cosecante hiperbólica é definida como:

$\ {\mbox{cosech}}(x)={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

ou

$\ {\mbox{cosech}}(x)={\frac {1}{\ {\mbox{senh}}(x)}}$

Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-\ {\mbox{cotgh}}^{2}(x)$

$1-\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\right)^{2}$

$1-{\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}$

${\frac {e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}-4}{e^{2x}+e^{-2x}-2}}$

$-{\frac {4}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$

$-{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}$

Portanto:

$1-\ {\mbox{cotgh}}^{2}(x)=\ {\mbox{cosech}}^{2}(x)$

Derivada da cotangente hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:

$y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{x}-e^{-x}\right)-\left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)-\left(cosh^{2}(x)\right)}{\left(\ {\mbox{senh}}^{2}(x)\right)}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\ {\mbox{senh}}^{2}(x)}}$

Portanto:

${\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{cosech}}^{2}(x)$

Derivada da cossecante hiperbólica

Seja a função $y=\ {\mbox{cosech}}(x)$, temos:

$y={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\cdot {\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

e finalmente:

${\frac {dy}{dx}}=-\ {\mbox{cosech}}(x)\ {\mbox{cotgh}}(x)$

Integral da cotangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:

$F(x)=\int {\frac {\cosh(x)}{\ {\mbox{senh}}(x)}}dx$

Se fizermos:

$u=\ {\mbox{senh}}(x)$

$du=\cosh(x)dx$

verificamos:

$F(x)=\int {\frac {du}{u}}$

$F(x)=\ln |u|$

e finalmente:

$F(x)=\ln |\ {\mbox{senh}}(x)|+C$

Integral da cossecante hiperbólica

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Inversas das hiperbólicas

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

Análise da inversão das variáveis

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

$y=funch(x)$,

Para a forma:

$x=argfunch(y)$

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo $senh(x)$, que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

argsenh e argcosenh

Agora consideremos a função $t=\ {\mbox{senh}}(x)$, então:

$t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Podemos fazer $e^{x}=u$, logo:

$t={\frac {u-u^{-1}}{2}}$

O que resulta na equação:

$u^{2}-2tu-1=0$

cujas raízes são:

$u=t\pm {\sqrt {t^{2}+1}}$

Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:

$e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}+1}}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $senh(x)$ que é:

$\ {\mbox{argsenh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|$

No caso de $t=\cosh(x)\,\!$, a dedução é similar:

$t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Podemos fazer $e^{x}=u$, logo:

$t={\frac {u+u^{-1}}{2}}$

O que resulta na equação:

$u^{2}-2tu+1=0$

cujas raízes são:

$u=t\pm {\sqrt {t^{2}-1}}$

Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:

$e^{x}=t+{\sqrt {t^{2}-1}}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $cosh(x)$ que é:

$\ {\mbox{argcosh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|$,   $|x|>1$

Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

$y=\ {\mbox{argsenh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|$

de onde deduzimos:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)$

resultando:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

---

E para $y=\ {\mbox{argcosh}}(x)=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|$

de onde deduzimos:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)$

e finalmente:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$,   $|x|>1$

Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argtgh e argsech

Considerando $t=\ {\mbox{tgh}}(x)$, temos:

$t={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

se $u=e^{x}$:

$t={\frac {u-u^{-1}}{u+u^{-1}}}$

o que resulta na equação:

$(t-1)u^{2}+t+1=0$

Cujas raizes são:

$u=\pm {\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:

$e^{x}={\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$

Que é a inversa da $\ {\mbox{tgh}}(x)$, portanto:

$\ {\mbox{argtgh}}(x)=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$,    $|x|<1$

Ou,

$\ {\mbox{argtgh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$,    $|x|<1$

---

Considerando $t=\ {\mbox{sech}}(x)$, temos:

$t={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

se $u=e^{x}$:

$t={\frac {2}{u+u^{-1}}}$

o que resulta na equação:

$tu^{2}-2u+t=0$

Cujas raízes são:

$u={\frac {1\pm {\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $0<t<1$:

$e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1-t^{2}}}}{t}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|$

Que é a inversa da $sech(x)$, portanto:

$\ {\mbox{argsech}}(x)=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|$,   $0<x<1$

Derivadas de argtgh e argsech

Seja $y=\ {\mbox{argtgh}}(x)$ $={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$, $|x|<1$

Deduzimos que sua derivada é:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argtgh}}(x)]}{dx}}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {1-x-(1+x)(-1)}{(1-x)^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)\left[{\frac {2}{(1-x)^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\right]$

e, finalmente:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}$,   $|x|<1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

---

Seja $y=\ {\mbox{argsech}}(x)$ $=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right|$,

Deduzimos que sua derivada é:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argsenh}}(x)]}{dx}}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-(-2x)}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {x^{2}-{\sqrt {1-x^{2}}}+1-x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)$

e, finalmente:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Integrais de argtgh e argsech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argcotgh e argcosech

Considerando $t=\ {\mbox{cotgh}}(x)$, temos:

$t={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

se $u=e^{x}$:

$t={\frac {u+u^{-1}}{u-u^{-1}}}$

o que resulta na equação:

$(1-t)u^{2}-t-1=0$

Cujas raizes são:

$u=\pm {\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:

$e^{x}={\sqrt {\frac {t+1}{t-1}}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$

Que é a inversa da $\ {\mbox{cotgh}}(x)$, portanto:

$\ {\mbox{argcotgh}}(x)=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$,   $|x|>1$

Ou,

$\ {\mbox{argcotgh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$,   $|x|>1$

---

Considerando $t=\ {\mbox{cosech}}(x)$, temos:

$t={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

se $u=e^{x}$:

$t={\frac {2}{u-u^{-1}}}$

o que resulta na equação:

$tu^{2}-2u-t=0$

Cujas raízes são:

$u={\frac {1\pm {\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$:

$e^{x}={\frac {1-{\sqrt {1+t^{2}}}}{t}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|$

Que é a inversa da $cosech(x)$, portanto:

$\ {\mbox{argcosech}}(x)=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|$

Derivadas de argcotgh e argcosech

Seja $y=\ {\mbox{argcotgh}}(x)$ $={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x-1}{x+1}}$, $|x|>1$

Deduzimos que sua derivada é:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[\ {\mbox{argcotgh}}(x)]}{dx}}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\left[{\frac {2}{(x+1)^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2}{(x-1)(x+1)}}\right]$

e, finalmente:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}$,   $|x|>1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

---

Seja $y=\ {\mbox{argcosech}}(x)$ $=\ln \left|{\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right|$,

Deduzimos que sua derivada é:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d[{\mbox{argcosh}}(x)]}{dx}}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left[{\frac {x{\frac {-2x}{2{\sqrt {1+x^{2}}}}}-\left(1-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}{x^{2}}}\right]$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {-x^{2}-{\sqrt {1+x^{2}}}+1+x^{2}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{1-{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)$

e, finalmente:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$,   $x\neq 0$

Integrais de argcotgh e argcosech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

acima: Índice
anterior: Análise de funções elementares I | próximo: Técnicas de integração