Introdução ao Cálculo/Análise de funções elementares I

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O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

Índice

1 Logarítmicas
2 Exponenciais
3 Logarítmicas com outras bases
- 3.1 Mudança de base
- 3.2 Derivadas
4 Trigonométricas I
- 4.1 Conceitos básicos (Radianos)
- 4.2 Seno e cosseno

[editar] Logarítmicas

A integral da função algébrica $f (x) = x n$ traz uma indefinição quando $n = - 1$ :

$\int x^n d x = \frac {x^{n+1}}{n+1} ; n \ne -1$

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: $f(x)=\frac{1}{x}$ ? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:

A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de número de Euler, ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função $f(x)=\frac {1}{x}$ , que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico.

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

[editar] Teoremas

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos $f (x) = ln x$ ,

[editar] T36 - Produto

$\ln a \cdot b = \ln a\ +\ \ln b$

Comprovação:

Da definição:

$\int^{ab}_1 \frac{1}{u} d u$

$\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^{ab}_a \frac{1}{u} d u$

fazendo $u = a t, d u = a d t$ e quando $u = a, t = 1$ :

$\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{at} a d t$

$\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{t} d t$

O que comprova o teorema.

[editar] T37 - Razão

$\ln \frac{a}{b} = \ln a\ -\ \ln b$

Comprovação:

Sendo $a = \frac{a}{b} \cdot b$ :

$\ln a = \ln \frac{a}{b} \cdot b$

$\ln a = \ln \frac{a}{b} + \ln b$

logo:

$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$

[editar] T38 - Potência

$\ln a^b = b \cdot \ln a$

Comprovação:

Sendo:

$\ln a^b = \ln (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \dots)$ -> b vezes, que é:

$\ln a^b = \ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a \dots)$ -> b vezes, resultando:

$\ln a^b = b \cdot \ln a$

[editar] Derivadas

Da definição do logarítmo natural e a partir do teorema fundamental do cálculo, podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se $f (x) = ln x$ que é a integral definida de $\frac {1}{x}$ , então a derivada é:

$\frac{ d f(x)}{d x} = \frac {1}{x}$

[editar] Integrais

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Exponenciais

A função $f (x) = a x$ é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se $log a b = x$

então:

$a x = b$

O que implica $b = f (x)$ , tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função $ln x$ ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.

[editar] O número de Euler

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: $f(x)= \frac {1}{x}$ , quando seu valor é unitário, ou seja:

$ln e = 1$ ,

mais formalmente:

$\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1$

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo III.

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n$

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se $f (x) = ln x$ então $f\ '(x) = \frac {1}{x}$ , logo: $f\ '(1) =1$

Por outro lado, pela definição:

$f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha}$

Para $f\ '(1) = 1$ :

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha}$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha}$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha)$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}$

$e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}$

Sendo: $\alpha = \frac {1}{n}$ e $\lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}$

Concluimos que:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n$