Introdução ao Cálculo/Análise de funções elementares II

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Índice

1 Trigonométricas II
- 1.1 Tangente e secante
- 1.2 Cotangente e cossecante
2 Inversas das trigonométricas
3 hiperbólicas
4 Inversas das hiperbólicas

[editar] Trigonométricas II

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

[editar] Tangente e secante

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois excencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por $[\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]$ e o valor inicial $(Δ x)$ é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

$\ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

que é:

Predefinição:Aviso

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?

Para definir h, a hipotenusa, façamos :

$h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x)$

$h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}$

$h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}$

Da identidade relacional temos:

$h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)}$

portanto:

$h(x)= \frac{1}{\cos(x)}$

Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:

Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

[editar] Identidades (2)

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

[editar] I-14 Relacionando tangente e secante

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre $\ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)$ podemos afirmar que:

Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

[editar] I-15 Tangente da diferença

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:

Comprovação:

Considerando a definição da tangente temos:

$\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}$

$\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}$

$\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}} {\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}$

$\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}$

$\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}$

Resultando em:

$\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)}$

O que comprova a identidade.

[editar] I-16 Tangente da soma

Comprovação:

Admitamos $b = - b$ e teremos pela tangente da diferença:

$\ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)}$

Considerando que a tangente é:

$\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}$

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

$\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)}$

O que comprova a identidade.

[editar] Derivada da tangente

Seja $f(x)=\ \mbox{tg}(x)$ , uma função contínua em $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )$ , visto que $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists$ , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}$

logo, pela derivada da razão:

$f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}$

$f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}$

$f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da secante

Seja $f (x) = sec(x)$ , uma função contínua em $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )$ , visto que $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists$ , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

logo, pela derivada da razão:

$f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}$

$f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}$

$f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}$

O que nos revela:

[editar] Integral da tangente

Seja a função $f(x)=\ \mbox{tg}(x) \,\!$ , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

$F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx$

$F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx$

Por outro lado, se:

$u=\cos(x) \,\!$

$du=-\ \mbox{sen}(x)dx \,\!$

O que nos possibilita afirmar que:

$F(x)= - \int \frac{du}{u}$

$F(x)= - \ln|\cos(x)| \,\!$

$F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right|$

Portanto:

[editar] Integral da secante

Seja a função $f (x) = sec(x)$ , dizemos que sua integral é a função $F (x)$ e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

$F(x)=\int \sec(x) dx$

multiplicando e dividindo $\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)$ :

$F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx$

Por outro lado, se:

$u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)$ ,

$du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx$

logo, por substituição, temos:

$\int \frac{du}{u}$ , sendo $u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)$ , o que nos permite fazer:

$F (x) = ln | u |$

Portanto:

[editar] Cotangente e cossecante

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:

Ficheiro:Trigonofuncs.png

Figura 8

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

$\frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}$

O que nos revela:

Predefinição:Aviso

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

$\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}$

$\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}$

Que define a cossecante como:

[editar] Identidades (3)

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

Conseqüentes das definições:

[editar] Derivada da cotangente

Seja a função $f(x)=\ \mbox{cotg}(x)$ , considerando que:

$f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}$

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

$f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}$

$f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}$

$f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da cossecante

Seja a função $f(x)=\ \mbox{cosec}(x)$ , considerando que:

$f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}$

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

$f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}$

$f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}$

Portanto:

[editar] Integral da cotangente

Seja a função $f(x)=\ \mbox{cotg}(x)$ , considerando que:

$f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}$

Sua integral é:

$F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx$

$F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx$

Sendo $u=\ \mbox{sen}(x)$ :

$d u = cos(x) d x$

Logo:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

E, por substituição:

[editar] Integral da cossecante

Seja a função $f(x)=\ \mbox{cosec}(x)$ ,

Sua integral é:

$F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx$

Sendo $u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)$ :

$du= [\ \mbox{cosec}^2 (x)-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx$

Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:

$F(x)=\int \frac{\ \mbox{cosec}^2 (x)-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx$

Logo:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

E, por substituição:

[editar] Inversas das trigonométricas

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a $a r c f u n c (x)$ é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

[editar] arcseno e arccosseno

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:

O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em $(- \infty , \infty)$ , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: $\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]$ , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: $\left [0,\pi\right ]$ também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:

Da mesma forma que:

Predefinição:Aviso

[editar] Derivadas do arcseno e arccosseno

Seja a função $y=\ \mbox{arcsen}(x)$ , sendo a sua inversa:

$x=\ \mbox{sen}(y)$ ,

podemos operá-la desta forma:

$d x = cos(y) d y$

$\frac{dx}{dy}=\cos(y)$ ,

Por outro lado:

$\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1$

$\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}$

$\cos(y)=\sqrt{1-x^2}$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}$ ,

Logo:

Ainda temos que a função $z=\ \mbox{arccos}(x)$ , sendo a sua inversa:

$x = cos(z)$ ,

podemos operá-la desta forma:

$dx=-\ \mbox{sen}(z)dz$

$\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)$ ,

Por outro lado:

$\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1$

$\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}$

$\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}$ ,

Logo:

[editar] Integrais do arcseno e arccosseno

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Arctangente e arccotangente

Definimos a função:

 $y = a r c t g (x)$ ,

arctangente de x, como a inversa da função:

 $x = t g (y)$ ,

Predefinição:Aviso

tangente de y, para todo o intervalo $(-\infty, \infty)$ , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

 $z = a r c c o t g (t)$ ,

arccotangente de t, como a inversa da função:

 $t = c o t g (z)$ ,

cotangente de z, para todo o intervalo $(-\infty, \infty)$ , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

[editar] Derivadas da arctangente e arccotangente

Seja a função $y = a r c t g (x)$ , sendo a sua inversa:

$x = t g (y)$ ,

podemos operá-la desta forma:

$d x = s e c 2 (y) d y$

$\frac{dx}{dy}=sec^2 (y)$ ,

Por outro lado:

$s e c 2 (y) = 1 + t g 2 (y)$

$s e c 2 (y) = 1 + x 2$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dy}=1+x^2$ ,

Logo:

Ainda temos que a função $z = a r c c o t g (x)$ , sendo a sua inversa:

$x = c o t g (z)$ .

Por outro lado:

$arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)$

O que nos dá:

$\frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}$ ,

Logo:

[editar] Integrais da arctangente e arccotangente

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Arcsecante e arccossecante

Definimos a função:

arcsecante de x, como a inversa da função:

Predefinição:Aviso

secante de y, para os intervalos de x: $(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)$ , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\ \mbox{arcsec}(x)$ é relacionada a função $\ \mbox{arccos}(x)$ como segue:

Do mesmo modo podemos definir a função:

arccosecante de t, como a inversa da função:

cosecante de y, para os intervalos de x: $(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)$ , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\ \mbox{arccosec}(x)$ é relacionada a função $\ \mbox{arcsen}(x)$ como segue:

[editar] Derivadas da arcsecante e arccossecante

Seja a função:

$y=\ \mbox{arcsec}(x)$

que tem correspondência em:

$\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)$

Sendo:

$\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}$

Portanto:



para  $| x | > 1$

[editar] Integrais da arcsecante e arccossecante

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Trigonométricas inversas como integrais algébricas

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:

Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.

[editar] hiperbólicas

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais $e x$ e $e - x$ , as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

[editar] Seno e cosseno hiperbólicos

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole $y=\frac{1}{2x}$ , onde encontramos:

A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:

Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente $e x$ e uma exponencial decrescente $e - x$ lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

[editar] Relacionando seno e cosseno hiperbólico

Considere a operação: $\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x)$ ,

Da definição temos:

$\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 -\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2$

$\frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2e^x e^{-x}}{4} -\frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2e^x e^{-x}}{4}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{4}$

$\frac{4}{4}$

logo:

[editar] Derivada do seno hiperbólico

Seja a função seno hiperbólico $y=\ \mbox{senh}(x)$ , podemos dizer que:

$y=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$

sendo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-(-e^{-x}))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})$

Portanto:

[editar] Derivada do cosseno hiperbólico

Seja a função cosseno hiperbólico $y = cosh(x)$ , podemos dizer que:

$y=\frac{e^x + e^{-x}}{2}$

sendo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+(-e^{-x}))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})$

Portanto:

[editar] Integral do seno hiperbólico

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) dx$

$\int \frac{1}{2} e^x dx- \int \frac{1}{2} e^{-x} dx$

$\frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x}$

$\frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Concluimos que:

[editar] Integral do cosseno hiperbólico

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) dx$

$\int \frac{1}{2} e^x dx + \int \frac{1}{2} e^{-x} dx$

$\frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x}$

$\frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Concluimos que:

[editar] Tangente e secante hiperbólicas

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:

ou

A secante hiperbólica é definida como:

ou

[editar] Relacionando tangente e secante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-\ \mbox{tgh}^2(x)$

$1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2$

$1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2}{e^{2x} + e^{-2x} + 2}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{e^{2x} + e^{-2x} + 2}$

$\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}$

$\frac{1}{\cosh^2(x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da tangente hiperbólica

Seja a função $y=\ \mbox{tgh}(x)$ , temos:

$y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da secante hiperbólica

Seja a função $y=\ \mbox{sech}(x)$ , temos:

$y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} + e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x} }$

e finalmente:

[editar] Integral da tangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ \mbox{tgh}(x)$ , temos:

$F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx$

Se fizermos:

$u = cosh(x)$

$du=\ \mbox{senh}(x)dx$

verificamos:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

$F (x) = ln | u |$

e finalmente:

[editar] Integral da secante hiperbólica

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Cotangente e cossecante hiperbólicas

A cotangente hiperbólica é definida como:

ou

A cosecante hiperbólica é definida como:

ou

[editar] Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-\ \mbox{cotgh}^2(x)$

$1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2$

$1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x} - 2}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} - 4}{e^{2x} + e^{-2x} - 2}$

$-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}$

$-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da cotangente hiperbólica

Seja a função $y=\ \mbox{cotgh}(x)$ , temos:

$y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}$

Portanto:

[editar] Derivada da cossecante hiperbólica

Seja a função $y=\ \mbox{cosech}(x)$ , temos:

$y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} - e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x} }$

e finalmente:

[editar] Integral da cotangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)$ , temos:

$F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx$

Se fizermos:

$u=\ \mbox{senh}(x)$

$d u = cosh(x) d x$

verificamos:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

$F (x) = ln | u |$

e finalmente:

[editar] Integral da cossecante hiperbólica

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Inversas das hiperbólicas

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

[editar] Análise da inversão das variáveis

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

$y = f u n c h (x)$ ,

Para a forma:

$x = a r g f u n c h (y)$

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo $s e n h (x)$ , que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

[editar] argsenh e argcosenh

Agora consideremos a função $t=\ \mbox{senh}(x)$ , então:

$t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Podemos fazer $e x = u$ , logo:

$t=\frac{u - u^{-1}}{2}$

O que resulta na equação:

$u 2 - 2 t u - 1 = 0$

cujas raízes são:

$u=t \pm \sqrt{t^2 +1}$

Podemos apenas admitir: $u > 0$ , consequentemente:

$e^x = t+ \sqrt{t^2 + 1}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $s e n h (x)$ que é:

No caso de $t=\cosh(x) \,\!$ , a dedução é similar:

$t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Podemos fazer $e x = u$ , logo:

$t=\frac{u + u^{-1}}{2}$

O que resulta na equação:

$u 2 - 2 t u + 1 = 0$

cujas raízes são:

$u=t \pm \sqrt{t^2 -1}$

Podemos apenas admitir: $u > 0$ , consequentemente:

$e^x = t+ \sqrt{t^2 - 1}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $c o s h (x)$ que é:

,    $| x | > 1$

[editar] Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

$y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|$

de onde deduzimos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)$

resultando:

E para $y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|$

de onde deduzimos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}} \right)$

e finalmente:

,    $| x | > 1$

[editar] Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

[editar] argtgh e argsech

Considerando $t=\ \mbox{tgh}(x)$ , temos:

$t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

se $u = e x$ :

$t=\frac{u - u^{-1}}{u + u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$(t - 1) u 2 + t + 1 = 0$

Cujas raizes são:

$u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}$

Onde apenas podemos admitir $u > 0$ e $t < 1$ :

$e^x = \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

Que é a inversa da $\ \mbox{tgh}(x)$ , portanto:

,     $| x | < 1$

Ou,

,     $| x | < 1$

Considerando $t=\ \mbox{sech}(x)$ , temos:

$t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}$

se $u = e x$ :

$t=\frac{2}{u + u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$t u 2 - 2 u + t = 0$

Cujas raízes são:

$u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}$

Onde apenas podemos admitir $u > 0$ e $0 < t < 1$ :

$e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|$

Que é a inversa da $s e c h (x)$ , portanto:

,    $0 < x < 1$

[editar] Derivadas de argtgh e argsech

Seja $y = \ \mbox{argtgh}(x)$ $= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$ , $| x | < 1$

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right]$

e, finalmente:

,    $| x | < 1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

Seja $y = \ \mbox{argsech}(x)$ $= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|$ ,

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)$

e, finalmente:

[editar] Integrais de argtgh e argsech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

[editar] argcotgh e argcosech

Considerando $t=\ \mbox{cotgh}(x)$ , temos:

$t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

se $u = e x$ :

$t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$(1 - t) u 2 - t - 1 = 0$

Cujas raizes são:

$u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}$

Onde apenas podemos admitir $u > 0$ e $t < 1$ :

$e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$

Que é a inversa da $\ \mbox{cotgh}(x)$ , portanto:

,    $| x | > 1$

Ou,

,    $| x | > 1$

Considerando $t=\ \mbox{cosech}(x)$ , temos:

$t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}$

se $u = e x$ :

$t=\frac{2}{u - u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$t u 2 - 2 u - t = 0$

Cujas raízes são:

$u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}$

Onde apenas podemos admitir $u > 0$ :

$e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|$

Que é a inversa da $c o s e c h (x)$ , portanto:

[editar] Derivadas de argcotgh e argcosech

Seja $y = \ \mbox{argcotgh}(x)$ $= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}$ , $| x | > 1$

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right]$

e, finalmente:

,    $| x | > 1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

Seja $y = \ \mbox{argcosech}(x)$ $= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|$ ,

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)$

e, finalmente:

[editar] Integrais de argcotgh e argcosech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

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Índice

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[editar] Tangente e secante

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[editar] I-14 Relacionando tangente e secante

[editar] I-15 Tangente da diferença

[editar] I-16 Tangente da soma

[editar] Derivada da tangente

[editar] Derivada da secante

[editar] Integral da tangente

[editar] Integral da secante

[editar] Cotangente e cossecante

[editar] Identidades (3)

[editar] Derivada da cotangente

[editar] Derivada da cossecante

[editar] Integral da cotangente

[editar] Integral da cossecante

[editar] Inversas das trigonométricas

[editar] arcseno e arccosseno

[editar] Derivadas do arcseno e arccosseno

[editar] Integrais do arcseno e arccosseno

[editar] Arctangente e arccotangente

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[editar] Trigonométricas inversas como integrais algébricas

[editar] hiperbólicas

[editar] Seno e cosseno hiperbólicos

[editar] Relacionando seno e cosseno hiperbólico

[editar] Derivada do seno hiperbólico

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[editar] Integral do seno hiperbólico

[editar] Integral do cosseno hiperbólico

[editar] Tangente e secante hiperbólicas

[editar] Relacionando tangente e secante hiperbólicas

[editar] Derivada da tangente hiperbólica

[editar] Derivada da secante hiperbólica

[editar] Integral da tangente hiperbólica

[editar] Integral da secante hiperbólica

[editar] Cotangente e cossecante hiperbólicas

[editar] Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

[editar] Derivada da cotangente hiperbólica

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[editar] Inversas das hiperbólicas

[editar] Análise da inversão das variáveis

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