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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. (No caso da figura, as raízes da função são x = -1 e x=2).

Equação quadrática (também conhecida como equação do segundo grau) é um tipo de equação polinomial matemática. É necessário para que a equação seja considerada quadrática, que seja de segundo grau e siga a forma geral:

$ax^2 + bx + c = 0\,\!$

, onde a, b e c são os coeficientes do polinômio e pertencem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de que a seja sempre diferente de zero (caso contrário, a equação torna-se linear. A quantidade x, figurante no trinômio, que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado, caso exista no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

A mais simples e principal maneira de se resolver uma equação quadrática é usando-se a chamada Fórmula de Bhaskara, desenvolvida pelo matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria, a qual se exprime a ideia de que:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \,\!$

, sendo a, b e c os mesmos coeficientes da equação de segundo grau. A partir desta fórmula, há três possibilidades da resolução da equação. Se b² - 4ac, comumente abreviado como Δ, for positivo, a equação tem duas raízes reais e distintas; se Δ for igual a zero, a equação passa a ter apenas uma raiz real; se Δ for negativo, a equação tem duas raízes complexas e distintas.

Introdução

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio e que pertence ao 2º grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que, a incógnita x é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, levando-nos a crer que se a fosse igual a zero, anularia-se o x² e assim, a equação passaria a ser linear, de primeiro grau.

No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou principios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmullas se dervivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Paralela à evoulção dos estudos matemáticos da equação de segundo grau, cresceu também sua representação gráfica a chamada função quadrática. Nela, foi possível nítidamente, observar que há sempre um cume, valor máximo que a incógnita pode ter (chamada de Vértice), assim como a direção para a qual os valores crescem, etc. O conhecimento já guardado das funções, quando aplicados na equação quadrática, facilitaram demasiadamente os estudos de matemáticos ao longo da história.

Fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. A fórmula guarda este nome por ter sido divulgada pelo matemático e astronômo indiano Bhaskara Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta, porém, é atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. Por muitos tempos, muitos estudiosos tentaram achar uma solução para x dentro desta equação, visto ter sido complicado, já que havia um termo ao quadrado e o mesmo de primeiro grau, na mesma equação. Assim, a fórmula de Bhaskara utiliza um método inteligente, unido pura e simplesmente, uma fatoração de um polinômio para conseguir pôr apenas uma incógnita x no caso e assim, achar um valor definitivo:

$\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\ (4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow \\ \\ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow \\ \\ (2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow \\ \\ (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow \\ \\ (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow \\ \\ \left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac} \end{matrix} \,\!$

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

• Se $(2ax+b) \ge 0\,\!$

$\begin{matrix} 2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\ 2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\ x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix} \,\!$

• Se $(2ax+b) < 0\,\!$

$\begin{matrix} -(2ax + b) = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\ 2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\ 2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\ x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix} \,\!$

Portanto,

$x=\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_1 \\ \\ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_2 \end{matrix}\right.\Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \,\!$

Propriedades matemáticas

A partir da Fórmula de Bhaskara, desmembram-se diversas outras fórmulas. Delas, chega-se a certas conclusões que já visam previamente determinados fatores, como, por exemplo, o conjunto ao qual pertencerá as raízes, o número de raízes que cabem à x ou também a soma e a diferença das raízes da equação.

Delta

Dentro da Fórmula de Bhaskara, com o intuito de diminuir a equação e assim, facilitar estudos de matemáticos, comumente, chama-se o polinômio b² - 4ac da letra grega delta ( Δ ) ou também discriminante. A partir daí, tem-se:

$\Delta = b^2-4ac\,\!$

Dessa forma, a Fórmula de Bhaskara pode ser escrita, resumidamente, da forma:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!$

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se $\Delta > 0\,\!$ , a equação terá duas raízes reais distintas.
  • Isto ocorre porque a fórmula de Bhaskara resolver-se-ia naturalmente, sem modificações e, sendo delta maior que zero, o valor de dentro de uma raiz será positivo, tornando-se, ineviltavelmente, um número real.
• Se $\Delta = 0\,\!$ , a equação terá uma raíz dupla.
  • Isto ocorre porque zero é um número que não é positivo e nem negativo. Ele também, em somas e subtrações não altera o valor. Logo, pode-se dizer que a equação apenas teria uma raíz, representada por (- b)/(2a)
• Se $\Delta < 0\,\!$, a equação terá duas raízes complexas disintas.
  • Verifica-se que, se delta for negativo, isto é, com valor inferior a zero, já que ele seria submetido à uma raiz quadrada, o universo que estuda a raiz quadrada dos números negativos é o dos complexos, tendo assim a equação, duas raizes complexas distintas.

Soma e Produto

A partir da Fórmula de Bhaskara acha-se a o resultado da soma S das duas raízes da equação e também sem produto P. Acha-se a soma realizando a real soma das duas raízes encontradas por Bhaskara:

$x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\,\! + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\,\! \Leftrightarrow \frac{-b -b - \sqrt{\Delta} + \sqrt{\Delta}}{2a}\,\! \Leftrightarrow \frac{-2b}{2a}\,\! \Leftrightarrow \frac{-b}{a}\,\!$ F´[ Acha-se o produto pelo mesmo processo:

$x = (\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!)(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!) \Leftrightarrow \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2}\,\! \Leftrightarrow \frac{b^2 - {\Delta}}{4a^2}\,\! \Leftrightarrow \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}\,\! \Leftrightarrow \frac{4ac}{4a^2}\,\! \Leftrightarrow \frac{c}{a}\,\!$

Assim, sendo $r_1$ e $r_2$ as raizes da equação quadrática:

• $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}=S$

e

• $r_1 . r_2 = \frac{c}{a}=P$

Deste jeito, munido dessas propriedades, pode-se avaliar as raízes em muitos casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Utilizando a forma de soma e produto da equação quadrática, é possivel chegar à forma fatorada da equação. Tendo em conta que:

• $S = r_1 + r_2$

e

• $P = r_1 \times r_2$

Pode-se afirmar que:

$a(x^2-Sx+P)=0 \Leftrightarrow a \left [ x^2 - (r_1 + r_2)x + (r_1 \times r_2) \right ]=0 \Leftrightarrow a \left [(x-r_1)(x-r_2) \right ]=0$

Logo,

$ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a(x-r_1)(x-r_2)=0$

Esta é a forma fatorada da Equação quadrática.

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\frac{r_1+r_2}{r_1 . r_2}=\frac{S}{P}$

Soma dos Quadrados das Raízes

$r_1^2+r_2^2=r_1^2+2r_1 . r_2+r_2^2-2r_1 . r_2=(r_1+r_2)^2-2r_1 . r_2=S^2-2r_1 . r_2=S^2-2P$

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}=\frac{r_1^2+r_2^2}{r_1^2 . r_2^2}=\frac{S^2-2P}{P^2}$

Soma dos Cubos das Raízes

$r_1^3+r_2^3=r_1^3+3r_1^2 . r_2+3r_1 . r_2^2+r_2^3-3r_1^2 . r_2-3r_1 . r_2^2=(r_1+r_2)^3-3(r_1+r_2)(r_1 . r_2)=S^3-3S . P$

Média Aritmética das Raízes

$\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{S}{2}$

Média Geométrica das Raízes

$\sqrt{r_1 . r_2}=\sqrt{P}$

Média Harmônica das Raízes

$\frac{1}{\frac{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}}{2}}=\frac{2}{\frac{r_1+r_2}{r_1 . r_2}}=\frac{2r_1 . r_2}{r_1+r_2}=\frac{2P}{S}$

Domínio e imagem da função

O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$ será sempre uma parábola com vértice em:

$V=\left( \frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a} \right)$

Resolução das equações incompletas

c=0

É uma equação no formato $ax^2+bx=0$. A solução é feita da seguinte forma: $ax^2+bx=0 \Leftrightarrow x(ax+b)=0$. Portanto, $x=0$ ou $ax+b=0 \Leftrightarrow x=- \frac{b}{a}$. Nesse caso, uma das raízes será sempre zero e a outra será real (se os coeficientes o forem).

b=0

É uma equação no formato $ax^2+c=0$. A resolução é feita deste modo: $ax^2+c=0 \Leftrightarrow ax^2=-c \Leftrightarrow x^2=- \frac{c}{a} \Leftrightarrow x= \sqrt{- \frac{c}{a}}$. Por isso, $\frac{c}{a}<0$, ou a equação não terá raízes reais. No caso delas serem reais, as raízes serão simétricas.

Bibliografia

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8