Campo elétrico

Força e carga elétrica

Se definimos a força $F$ entre duas cargas $Q_{1}$ e $Q_{2}$, separadas por uma distância $d$, então: $F=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{d^{2}}}$ Onde a força é expressa em Newtons (N).

Dado um sistema de coordenadas onde $r_{1}$ é o vetor de posição absoluta da carga $Q_{1}$, e $r_{2}$ o vetor de posição absoluta da carga $Q_{2}$, podemos expressar a força de forma vetorial:

${\vec {F}}=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{Q_{1}-Q_{2}}$

${\vec {u}}_{Q_{1}-Q_{2}}$ é um vetor unitário que atravessa as cargas $Q_{1}$ e $Q_{2}$ no sentido indicado pela lei de Coulomb, mas levando em consideração o princípio de ação e reação de Newton.

Para calcular diretamente as forças que atuam sobre cada partícula:

${\vec {F}}_{A}=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{\vert {\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\vert ^{3}}}({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})$

${\vec {F}}_{B}=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{\vert {\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\vert ^{3}}}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})$

Definição de campo elétrico

O campo elétrico é uma abstração para entender o que as forças agem sobre uma partícula $Q_{P}$ sujeito à interação de um conjunto de n cargas $\sum \limits _{i=1}^{n}Q_{i}$.

A força ${\vec {F}}$ que atua sobre uma partícula $Q_{P}$ submetida a um campo elétrico ${\vec {E}}$ é calculada como:

${\vec {F}}=Q_{P}{\vec {E}}$

De quem é a unidade ${\frac {N}{C}}$. Para o módulo de vetor de campo ${\vec {E}}$ que atua em um ponto específico do espaço é conhecido como força de campo elétrico.

A expressão de campo elétrico produzida por um conjunto de$n$ cargas $Q_{i}$ sobre um ponto $P$ seria:

$k\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}({\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{i})}{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{i}\vert ^{3}}}$

Campo elétrico e distribuição espacial da carga

Dependendo de como a carga é distribuída no espaço, podemos encontrar diferentes expressões de campo elétrico.

Distribuição ao longo de uma linha de espessura insignificante

A densidade linear da carga Q uniformemente distribuída em uma linha de espessura insignificante é definida como: $\lambda ={\frac {dQ}{dL}}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\lambda ={\frac {Q}{L}}$

Distribuição ao longo de uma superfície de espessura insignificante

A densidade superficial da carga Q distribuída uniformemente em uma superfície S de espessura insignificante é definida como: $\sigma ={\frac {dQ}{dS}}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\sigma ={\frac {Q}{S}}$

Distribuição ao longo de um volume

A densidade volumétrica da carga Q distribuída uniformemente em um volume V é definida como: $\rho ={\frac {dQ}{dV}}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\rho ={\frac {Q}{V}}$

Campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de carga em um volume

A partir das expressões anteriores, podemos calcular o campo que produz uma carga Q distribuída uniformemente em um volume V.

Se nós definimos $\rho$ como:

$\rho ={\frac {dQ}{dV}}$

Nós expressamos Q com base em $\rho$ como:

$dQ=\rho dV$

$Q=\int \limits _{V}\rho dV$

Depois disso, o campo elétrico ${\vec {E}}_{P}$ em um ponto dado pelo vetor ${\vec {r}}_{P}$ é definido como:

${\vec {E}}_{P}=k\int \limits _{V}{\frac {\rho dV}{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{2}}}({\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho })$

$k\int \limits _{V}{\frac {\rho dV}{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{2}}}({\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho })=k\int \limits _{V}{\frac {\rho }{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{3}}}{\vec {r}}_{P}dV-k\int \limits _{V}{\frac {\rho }{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{3}}}{\vec {r}}_{\rho }dV$

Como $k\int \limits _{V}{\frac {\rho }{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{3}}}{\vec {r}}_{\rho }dV$ Representa um vetor nulo $\int \limits _{V}{\vec {r}}_{P}dV$ não afeta a expressão de campo: ${\vec {E}}_{P}=-k\int \limits _{V}{\frac {\rho }{\vert {\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{\rho }\vert ^{3}}}{\vec {r}}_{\rho }dV$

Fluxo elétrico

O fluxo elétrico $\phi$ é a quantidade de campo elétrico E que invade uma superfície S com uma área A.

Sua expressão mais geral é escrita como: $\phi =EAcos\theta ={\vec {E}}o{\vec {A}}$ E é expresso em ${\frac {Nm^{2}}{C}}$ o que equivale a um Volt por metro $Vm$.

Expressão geral do fluxo elétrico através de qualquer superfície

Uma vez que em uma superfície irregular o fluxo varia tanto em intensidade quanto no vetor que se forma com o normal da superfície, definimos: $d\phi =EdAcos\theta ={\vec {E}}od{\vec {A}}$

$\phi =\int _{S}{\vec {E}}od{\vec {A}}$

Agora considere o caso do fluxo elétrico $\phi _{C}$ de uma superfície fechada. Se usarmos o símbolo $\oint$ Para se referir à integral de uma superfície fechada, a expressão do fluxo elétrico que atravessa essa superfície é determinada por: $\phi _{C}=\oint _{S}{\vec {E}}od{\vec {A}}=\oint _{S}E_{n}od{\vec {A}}$ sendo $E_{n}$ um componente normal ($\approx$ perpendicular) à superfície fechada.

Lei de Gauss

Se em uma superfície fechada sem carga o fluxo total que o cruza é nulo, a lei de Gauss estabelece a relação que existe entre o fluxo elétrico líquido que atravessa uma superfície com uma carga $Q_{i}nt$ em seu interior.

Definição

$\Phi _{C}=\oint {\vec {E}}od{\vec {A}}={\frac {Q_{int}}{\epsilon _{0}}}$

Sendo ${\vec {E}}$ o campo elétrico criado por $Q_{i}nt$ e o resto dos campos que atravessam a superfície. Pode ser usado na direção oposta para calcular o campo elétrico que cria qualquer distribuição de cargas; embora, por conveniência, geralmente seja feito em casos elementares.

Demonstração

Começa a partir de uma esfera oca de raio $r$ e espessura insignificante com uma carga de ponto $Q_{i}nt$ localizada no centro. De acordo com a lei de Coulomb, o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é:

$E=k{\frac {q}{r^{2}}}$

O fluxo através da esfera é o seguinte: $\Phi _{C}=\oint E_{n}d{\vec {A}}=E\oint d{\vec {A}}={\frac {kq}{r^{2}}}$ Se substituímos a expressão do campo elétrico e consideramos que o raio de uma esfera é $4\pi r^{2}$ nós conseguimos:

$\Phi _{C}={\frac {kq}{r^{2}}}(4\pi r^{2})=4\pi kq($

E se considerarmos o valor da constante k ($k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$):

$\Phi _{C}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$