Geometria e Topologia

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Exercícios[editar | editar código-fonte]

1.[editar | editar código-fonte]

Mostre que a esfera menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite então fazer a projeção estereográfica da esfera do plano.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Temos por definição que:

Assim considere e defina a reta:

e o plano:

Assim:

Assim

Bem definida

Obervemos que está bem definida pois o ponto que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da Portanto está função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam e com e assim:

Portanto, Logo é injetora.

Sobrejetora

Tome e Considere a reta:

ponto tal que

Logo o ponto que existe é da forma:

É facilmente verificável que ou seja,

Assim concluímos que é sobrejetora e podemos definir:

Observe que

Mostrar que,

Analogamente, mostra-se que

Portanto é a inversa de

Continuidade

Como e possui todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, temos que ambas são contínuas, e portanto é um homeomorfismo.