Mostre que a esfera
menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite então fazer a projeção estereográfica da esfera do plano.
Temos por definição que:
Assim considere
e defina a reta:
e o plano:
Assim:
Assim
Bem definida
Obervemos que
está bem definida pois o ponto
que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da
Portanto está função está definida em todo o seu domínio.
Injetora
Sejam
e
com
e
assim:
Portanto,
Logo
é injetora.
Sobrejetora
Tome
e
Considere a reta:
ponto
tal que
Logo o ponto
que existe é da forma:
É facilmente verificável que
ou seja,
Assim concluímos que
é sobrejetora e podemos definir:
Observe que
Mostrar que,
Analogamente, mostra-se que
Portanto
é a inversa de
Continuidade
Como
e
possui todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, temos que ambas são contínuas, e portanto
é um homeomorfismo.