Geometria e Topologia

Exercícios

1.

Mostre que a esfera $S^{2}$ menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite então fazer a projeção estereográfica da esfera do plano.

Demonstração

Temos por definição que: $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

Assim considere $p=(a,b,c)\in S^{2}$ e defina a reta:

$r:\{(0,0,1)+t*(a,b,c-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(ta,tb,1+t(c-1))/t\in \mathbb {R} \}$

e o plano:

$\pi :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/z=0\}$

Assim: $r\cap \pi :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/(x,y,z)=(ta,tb,0)\}$

${\begin{aligned}1+t(c-1)&=0\\t(c-1)&=-1\\t&={\frac {-1}{c-1}}\\t&={\frac {1}{1-c}}\end{aligned}}$

Assim

${\begin{aligned}\varphi :S^{2}-\{N\}&\mapsto \mathbb {R} ^{2}\\(a,b,c)&\mapsto ({\frac {a}{1-c}},{\frac {b}{1-c}})\end{aligned}}$

Bem definida

Obervemos que $\varphi$ está bem definida pois o ponto $(0,0,1)\in S^{2}$ que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da $\varphi .$ Portanto está função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam $p_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})$ e $p_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})$ com $p_{1}\neq p_{2}$ e $p_{1},p_{2}\in S^{2}\setminus \{N\}$ assim:

$\varphi (p_{1})=\varphi ((a_{1},b_{1},c_{1}))=({\frac {a_{1}}{1-c_{1}}},{\frac {b_{1}}{1-c_{1}}}).$

$\varphi (p_{2})=\varphi ((a_{2},b_{2},c_{2}))=({\frac {a_{2}}{1-c_{2}}},{\frac {b_{2}}{1-c_{2}}}).$

Portanto, $\varphi (p_{1})\neq \varphi (p_{2}).$ Logo $\varphi$ é injetora.

Sobrejetora

Tome $(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ e $N=(0,0,1)\in S^{2}.$ Considere a reta:

$r:\{(0,0,1)+t(x,y,-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(tx,ty,1-t)/t\in \mathbb {R} \}$

$\exists !$ ponto $p$ tal que $r\cap S^{2}=\{p\}$

${\begin{aligned}t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+(1-t)^{2}&=1\\t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+t^{2}-2t&=0\\t^{2}*(x^{2}+y^{2}+1)-2t&=0\\t&=0\\t*(x^{2}+y^{2}+1)-2&=0\\t&={\frac {2}{x^{2}+y^{2}+1}}\end{aligned}}$

Logo o ponto $p$ que existe é da forma:

$p=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})$

É facilmente verificável que $p\in S^{2},$ ou seja, $|p|=1.$

Assim concluímos que $\varphi$ é sobrejetora e podemos definir:

${\begin{aligned}\varphi ^{-1}:\mathbb {R} ^{2}&\mapsto S^{2}\setminus \{N\}\\(x,y)&\mapsto ({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\end{aligned}}$

Observe que $\varphi ^{-1}(x,y)\neq (0,0,1);\forall x,y\in \mathbb {R} ^{2}.$

Mostrar que, $(\varphi \circ \varphi ^{-1})(p)=(\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.$

${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(p)&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\\\varphi (\varphi ^{-1}(p))&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}}*{\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}}*{\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}})\\&=(x,y)\end{aligned}}$

Analogamente, mostra-se que $(\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.$

Portanto $\varphi ^{-1}$ é a inversa de $\varphi .$

Continuidade

Como $\varphi$ e $\varphi ^{-1}$ possui todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, temos que ambas são contínuas, e portanto $\varphi$ é um homeomorfismo.