Introdução a Métodos Numéricos

Métodos Numéricos x Cálculo Numérico

Entenda a diferença entre Métodos e Cálculos numéricos. Cálculo Numérico é a obtenção da solução de um problema pela aplicação de método numérico; a solução do problema será caracterizada, então, por um conjunto de números, exatos ou aproximados. Já o Método Numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo apenas números (operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor, etc.).

O Cálculo Numérico, entendido com uma coletânea de métodos numéricos, consiste de uma poderosa ferramenta que nos auxilia na obtenção de soluções numéricas, em geral aproximadas, de diversos problemas que encontramos no mundo real.

Por um método numérico entendemos um conjunto de regras escritas sob a forma de uma sequencia de operações elementares (soma, adição, multiplicação e divisão) que levam a uma solução do problema. A esse conjunto de regras denominamos algoritmo.

Os métodos numéricos segundo Chapra e Canale, são técnicas criadas para resolver problemas matemáticos, de forma a serem solucionados com cálculos aritméticos. A principal área onde os métodos numéricos atuam, é na engenharia, pois com o progresso de computadores, os cálculos complexos e cansativos tornam-se fáceis .

Com a grande disponibilidade de computadores pessoais e a grande capacidade de cálculo, aumentou significativamente a resolução de problemas na engenharia. Antigamente, antes dos computadores, segundo Chapra e Canale (2016): "Na era pré-computador, uma quantidade significativa de energia era gasta na técnica de resolução propriamente dita, em vez de na definição e interpretação do problema". Antigamente, existia três formas de abordar a solução de um problema sendo uma delas onde se utilizada calculadoras e regras de cálculo para execução do método numérico, que eram métodos lentos e podem ocorrer erros simples devido a quantidade de tarefas que são realizadas. Uma segunda alternativa era utilizar gráficos, porém, os resultados não eram precisos e com limitações de problemas que possuem três dimensões ou menos. E a última solução era feita através de deduzir soluções para problemas por meio de métodos analíticos ou exatos, porém, as soluções só poderiam ser deduzidas para uma gama limitada de problemas, com geometria simples e feitos através de modelos lineares .

Alguns fundamentos estudados em métodos numéricos são:

• Resolução de sistemas de equações lineares;
• Interpolação e cálculo aproximado de funções;
• Solução numérica de um sistema de equações não lineares;
• Solução numérica de equações diferenciais parciais (equações da física matemática);
• Resolver problemas de otimização.

Capazes de lidar com diversas equações não lineares e geométricas, o entendimento de métodos numéricos provindo de engenheiros é de grande valia, pois muitos programas não conseguem resolver o problema específico do engenheiro. Sendo também uma boa forma de estudar programação, pela possibilidade de criar seu próprio código, sendo esta, uma maneira muito eficiente. O conhecimento sobre métodos numéricos reforça também o entendimento sobre a matemática, já que os engenheiros e cientistas buscam reduzir o tamanho do cálculo, de forma a tornar mais clara a interpretação do mesmo.

Segundo Diomar Lobão, podemos entender que, o problema Físico passará como modelagem ao Modelo Matemático, fazendo com que a resolução chegue como solução.

Modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico. Resolução é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos.

A resolução de um problema, além de envolver várias fases, depende também:

• da precisão dos dados apresentados na entrada;
• da forma em que os dados são representados no computador;
• das operações numéricas que são efetuadas.

Na resolução, além de utilizar métodos numéricos, podem ser utilizados métodos analíticos, que fornecem uma solução exata para o problema em questão. No entanto, resolver um modelo matemático de um problema real utilizando um método analítico pode ser impossível, pois ele pode apresentar complexidades e fenômenos não-lineares. Por conta disso, os métodos numéricos são preferíveis na resolução de problemas reais .

Erros

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.

Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado.

Cálculo numérico é a base de estudo das técnicas para solução de problemas, as quais são analíticas e computacionais. Por envolverem desempenho e aumento da capacidade computacional, os métodos numéricos possibilitaram que a simulação computacional de problemas seja mais recorrente.

O método numérico em si é o conjunto de regras que mostram a solução de um problema, que são escritas em formato de sequência de operações elementares. Cada vez mais vêm sendo utilizado o conceito de métodos e técnicas numéricas, visto que computadores de alta capacidade de processamento são mais comuns, fazendo com que seja mais rápido resolver problemas através destas técnicas computacionais.

Por estarem fortemente ligados, métodos numéricos e desenvolvimento computacional envolvem alguns aspectos importantes na escolha dos algoritmos, como: precisão, capacidade do método em conduzir resultados desejados e esforço computacional.