Introdução ao Cálculo/Análise de funções elementares I

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

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O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

Logarítmicas[editar | editar código-fonte]

A integral da função algébrica traz uma indefinição quando :

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: ? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:


A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de número de Euler, ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função , que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico.

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos ,

T36 - Produto[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Da definição:

fazendo e quando :

O que comprova o teorema.

T37 - Razão[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Sendo :

logo:

T38 - Potência[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Sendo:

-> b vezes, que é:

-> b vezes, resultando:

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Da definição do logarítmo natural e a partir do teorema fundamental do cálculo, podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se que é a integral definida de , então a derivada é:

Integrais[editar | editar código-fonte]

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.


Exponenciais[editar | editar código-fonte]

A função é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se

então:

O que implica , tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função  ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.

O número de Euler[editar | editar código-fonte]

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: , quando seu valor é unitário, ou seja:

,

mais formalmente:

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo III.

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se então , logo:

Por outro lado, pela definição:

Para :

Sendo: e

Concluimos que:

Teoremas[editar | editar código-fonte]

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

T39 - Soma[editar | editar código-fonte]

Seja a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

sendo: e ,

O que comprova o teorema.

T40 - Subtração[editar | editar código-fonte]

De forma similar à análise anterior, sendo a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

sendo: e ,

O que comprova o teorema.

T41 - Potência[editar | editar código-fonte]

Seja a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

O que comprova o teorema.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Consideremos que , e conseqüentemente: , se derivarmos implicitamente este expressão:

Curiosamente, teremos:

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.

Por outro lado se , temos que:

Fazendo e , teremos:

Se , concluimos que:


Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

Integrais[editar | editar código-fonte]

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

, 

Sendo C constante.


Logarítmicas com outras bases[editar | editar código-fonte]

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se então,


Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.

A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:

O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função , podemos dizer que:

e que ,

como: ,

,

,

,

O que nos possibilita afirmar que:

,

ou

.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir por sendo z a base que substituirá e na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:


Derivadas[editar | editar código-fonte]

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando , temos que:

,

,

logo:

Que nos dá a derivada:



Trigonométricas I[editar | editar código-fonte]

A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas.

Conceitos básicos (Radianos)[editar | editar código-fonte]

Em um plano definido pelos eixos x e y podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:

Ciclotrig.png

Figura 5

Imagine que cada ponto está numa distãncia R do ponto em um plano cartesiano definido por pontos , da mesma forma a reta R, que é definida entre os pontos , forma um ângulo com o eixo x, que chamaremos de , note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta R e um ângulo .

Observemos que R, quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto , se fizermos variar em todos os valores possiveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de R variar teremos diferentes valores de x e y, porém a relação entre eles sempre será a mesma.

Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado PI, representado pela letra grega de mesmo nome: . Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de e admitirmos um diâmetro de , então teremos:

Que resulta em:


Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para l, que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que R se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo x em direção a y, formando um ângulo , teremos pedaços de circunferência, que chamamos de arcos, considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "" que tomamos, temos uma correspondência entre ângulo e arco, ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de Radiano. Qualquer círculo forma radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.

Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal negativo ou positivo neste valor?

Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo x em direção ao ponto o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o de encontro ao eixo x os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo x o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.

Seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio R e ao ângulo , são referenciados pelas variáveis x e y no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o seno e o cosseno.

A função seno, simbolizada como:


Nos dá o valor da variável y, ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo y, quando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

A função cosseno, simbolizada como:


Nos dá o valor da variável x, ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo xquando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

As funções seno e cosseno são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em x maior que temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação quando um ângulo maior que for sugerido para x.


Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:

Senos e cossenos notáveis
Ângulo 0
0 1 0 -1
1 0 -1 0

Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:

sendo ,



enquanto que:


Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:

Senos e cossenos mais comuns
Ângulo

Identidades (1)[editar | editar código-fonte]

As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.

I-1 Identidade relacional básica[editar | editar código-fonte]

Seno e cosseno são relacionados pela equação:


Comprovação:

Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: \ \mbox{sen} (a) e \cos(a) e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.

I-2 Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua soma é:


Comprovação:

Nos pontos A e B do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos a e b:

Soma sen cos.png

Figura 6

A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é:

Da identidade básica:

Como e  :

O que comprova a identidade.

I-3 Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua diferença é:


Comprovação:

Do cosseno da soma:

Substituindo b por -b:

O que comprova a identidade.

I-4 Equivalência angular[editar | editar código-fonte]

Se o ângulo a é e b é x, então:

logo:


Por outro lado, se:

e

, obtemos:


I-5 Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua soma é:


Comprovação:

Sendo e , temos:

O que comprova a identidade.

I-6 Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua diferença é:


Comprovação:

Se ,

Substituindo b por -b, temos:

e enquanto que , logo:

O que comprova a identidade.

I-7 Múltiplo de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o múltiplo de seus senos é:


Comprovação:

Somando as equações das identidades da soma e diferença dos cossenos:

O que comprova a identidade.

I-8 Múltiplo de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o múltiplo de seus cossenos é:


Comprovação:

Subtraindo as equações das identidades da soma e diferença dos cossenos:

O que comprova a identidade.

I-9 Múltiplo de seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o múltiplo do seno de a pelo cosseno de b é:


Comprovação:

Somando as equações das identidades da soma e diferença dos senos:

O que comprova a identidade.

I-10 Soma de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a soma dos senos de p e de q é:


Comprovação:

Podemos dizer que:

substituindo na identidade:

O que comprova a identidade.

I-11 Soma de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a soma dos cossenos de p e de q é:


Comprovação:

Seguindo a analogia anterior:

O que comprova a identidade.

I-12 Diferença de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos senos de p e de q é:


Comprovação:

substituindo q por -q em:

O que comprova a identidade.

I-13 Diferença de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos cossenos de p e de q é:


Comprovação:

substituimos q e q, por e em:

O que comprova a identidade.

Limíte trigonométrico fundamental[editar | editar código-fonte]

Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:

Ficheiro:Limite sen.png

Figura 7

A figura 7 mostra a representação de um ângulo no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:


Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta n é uma aproximação grosseira do arco , porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:

Por outro lado façamos o cálculo do valor do n; observando o triângulo podemos dizer que:

Logo:

Simplificando temos:

Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:

Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao n, teremos:

O que nos leva ao resultado:


A interpretação desse limite é a seguinte:

Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.

Derivada do seno[editar | editar código-fonte]

Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:

Aplicando o seno da soma:

Aplicando os limites:

Temos, então, o limite fundamental que é igual a 1, logo:


Derivada do cosseno[editar | editar código-fonte]

Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:

Aplicando o cosseno da soma:

Aplicando os limites:

Novamente temos o limite fundamental, logo:


Integral do seno[editar | editar código-fonte]

Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:


Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.

Integral do cosseno[editar | editar código-fonte]

Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:


Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação