Introdução ao Cálculo/Derivadas

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

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Aplicações das derivadas >>



Derivadas[editar]

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os principios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).


Introdução (coeficientes angulares)[editar]

Seja uma reta definida pelos pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2). Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

m\ =\ \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (das variáveis independentes).

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta, este é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função onde os pontos não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo, isso se deve ao fato de que a inclinação varia de acordo com o contorno da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando a função  f(x), teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

 \left( x_1,f(x_1) \right)

 \left( x_2,f(x_2) \right)

podemos fazer:

 x_2=x_1+\Delta x

e teríamos:

 m=\frac {f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta formado por um ponto (x,f(x)) e outro estabelecido pela distância  \Delta x , que nos fornece: (x+\Delta x,f(x+\Delta x)). Podemos, a partir desta equação, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuimos o módulo de  \Delta x a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiênte angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analizar mais segmentos da curva.


Definição[editar]

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular "{m}", como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Vejamos o gráfico a seguir:

Ficheiro:Derivada1.png Figura 2

Podemos constatar que a função tem as seguintes características:

  • A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre "(x_0,y_0)" e "(x_3,y_3)";
  • A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Traçamos as retas "{r_1}", "{r_2}" e "{r_3}", entre um ponto fixo "(x_0,y_0)" e os pontos "(x_3,y_3)", "(x_2,y_2)" , "(x_1,y_1)" respectivamente. Desta forma, podemos observar que:

  • A reta "{r_1}" possui uma inclinação maior que "{r_2}";
  • Esta última possui uma inclinação maior que "{r_3}";

Porém, observamos ainda que:

  • A reta "{r_3}" apresenta uma forma similar ao segmento inicial da função (entre os valores 0 e "{x_0}" no seu domínio).
  • Esta reta parece uma boa aproximação de f(x) em torno de {x_0}.

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas se aproximam de uma similaridade às inclinações nas regiões próximas ao ponto inicial "(x_0,y_0)" a medida que a distância entre os valores de "{x}" diminuem.

Uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se fizermos com que cada ponto tomado para o cálculo de m seja tão próximo de {x_0} que cada um se torne quase idêntico ao próximo, então teremos um m para cada ponto da curva. Desta forma, gostaríamos de definir a inclinação de f em {x_0} como sendo o limite:

f'(x) =  \lim_{\Delta x \to 0} m(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de {x_0} de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada x deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente f'(x) (a inclinação de f neste ponto). A nova função é obtida através dos resultados de  f(x), esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.

A diferença entre os valores de x_1 e x_2, quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial "dx" e a diferença entre os valores de y_1 e y_2, quando o diferencial "dx" é levado ao limite, é chamada de diferencial "dy":

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\mbox{d} y}{\mbox{d} x}

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre {x_0} e {x}), neste caso \mbox{d} y e \mbox{d} x.


Diferenciabilidade[editar]

Para que as diferenciais e por conseqüência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de f'(x) que:

  • Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir;
  • A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;

Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do  \lim_{x \to 0} \left[ f(x + \Delta x) - f(x) \right] nestes casos.

Portanto, devemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável, se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.


Regras básicas[editar]

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas partem do princípio fundamental da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite da definição e teoremas de limites e funções.

T7 - Soma e subtração[editar]

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Derivada da soma e subtração
Seja a função F(x)=f(x) \pm g(x); sua derivada é:
 F'(x) = f'(x) \pm g'(x) .

Demonstração:

Pela definição temos:


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \pm g(x+ \Delta x)-f(x) \mp g(x)}{\Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x) \pm g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}

e portanto:

 F'(x) = f'(x) \pm g'(x)

T8 - Multiplicação[editar]

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Derivada da multiplicação
Seja a função  F(x)=f(x) \cdot g(x) , então sua derivada é:
 F'(x)=f(x) \cdot g'(x)\ +\ g(x) \cdot f'(x) .

Demonstração:

Pela definição temos:


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \cdot g(x+ \Delta x)-f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}

Somamos e subtraimos  g(x + \Delta x) \cdot f(x) na equação anterior:


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \cdot g(x + \Delta x)- g(x+ \Delta x) \cdot f(x)+ g(x+ \Delta x ) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\left[f(x+ \Delta x) - f(x) \right] \cdot g(x + \Delta x ) + f(x) \cdot \left[g(x+ \Delta x )- g(x) \right]}{\Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \left[g(x)+ \Delta x \right] \cdot \left[f(x+ \Delta x) - f(x) \right]}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x) \cdot \left[g(x + \Delta x) - g(x) \right]}{\Delta x}


F'(x)= g(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x)- g(x)}{\Delta x}

e portanto:

 F'(x)=f(x) \cdot g'(x)\ +\ g(x) \cdot f'(x) .

T9 - Razão[editar]

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Derivada da razão
Seja a função  F(x)= \frac{f(x)}{g(x)} , então sua derivada é:
 F'(x)= \frac{g(x) \cdot f'(x)\ -\ f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} .

Demonstração:

Pela definição temos:


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \frac{f(x+ \Delta x)}{g(x+ \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(x+ \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+ \Delta x)}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair  f(x) \cdot g(x) , o que nos dá:


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(x+ \Delta x) \cdot g(x) -f(x) \cdot g(x) +f(x) \cdot g(x)- f(x) \cdot g(x+ \Delta x)}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ g(x)\cdot \left[f(x+ \Delta x) -f(x) \right] - f(x) \cdot \left[g(x+ \Delta x)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}


F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ g(x)\cdot \left[\frac{f(x+ \Delta x) -f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[\frac{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x)}

Depois que aplicamos os limites, resulta em:

 
F'(x)= \frac{g(x) \cdot f'(x)\ -\ f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

T10 - Natureza algébrica das diferenciais[editar]

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Natureza algébrica das diferenciais
Se f'(x) \,\! existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas.

Seja  \mbox{d}y \,\! e  \mbox{d}x \,\! as difenciais de f(x) \,\!, sua derivada é:

f'(x)= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}

Seja  \mbox{d}y e  \mbox{d}x as diferenciais de f(x) quando sua derivada é f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}, Então:

Demonstração:

Pelo teorema da razão do limite:

 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y} { \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x} .

O que nos dá a possibilidade de fazer:

 \mbox{d}y = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y

 \mbox{d}x = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x

Desta forma, os operadores  \mbox{d}y e  \mbox{d}x são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

T11 - Regra da cadeia[editar]

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Regra da cadeia
Seja a função composta h(x)=f[g(x)] \,\!, sua derivada pode ser calculada por:
h'(x)=g'(x) \cdot f'[g(x)] \,\!

A função composta  \{y=f(u)\ ;\ u=g(x)\} nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação  \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}u} \cdot \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo  D_t(z) indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

 D_u(y)=\lim_{\Delta u \to 0} \frac {f(\Delta u)}{\Delta u}

 D_x(u)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {g(\Delta x)}{\Delta x}

queremos  D_x(y) e sabemos que \lim_{\Delta u \to 0} f(\Delta u)=D_u(y) \cdot \lim_{\Delta u \to 0} \Delta u, para isso teríamos:

 D_x(y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(\Delta u)}{\Delta x}

 D_x(y) = D_u(y) \cdot  \frac {\lim_{\Delta u \to 0} \Delta u}{\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x}

Quando  \Delta x \to 0 ocorre que  \Delta u \to 0, pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

 D_x(y) = D_u(y) \cdot  \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta u}{\Delta x}

então:

 D_x(y) = D_u(y) \cdot D_x(u)


Derivadas Algébricas simples[editar]

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

T12 - constante[editar]

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Derivada da constante
Seja a função f(x)=c \,\!, onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;
c'=0 \,\!

Conforme constatamos:

 f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(c)-f(c)}{\Delta x}

 f'(x)=0

T13 - fator[editar]

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Derivada da função com fator
Seja a função  f(x)=c \cdot g(x), onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:
f'(x)=  c \cdot g'(x)
Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot g(x_2)-c \cdot g(x_1)}{\Delta x}

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot [g(x_2)-g(x_1)]}{\Delta x}

f'(x)=  c \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_2) - g(x_1)}{\Delta x}

f'(x)=  c \cdot g'(x)

O que nos afirma a validade do teorema.

T14 - Variável com expoente constante[editar]

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Derivada da função com expoente constante.
Seja a função  f(x)= x^n \,\!, onde n \,\! é uma constante positiva e  n \ge 1, sua derivada é:
 f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Demonstração:

Temos pela definição:

 f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

 f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot \Delta x+\frac {n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2}{2!}+...+ n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

 f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \left[ n \cdot x^{n-1} + \frac {n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)}{2!}+...+ n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1} \right]

Considerando o limite, temos:

 f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

Diferenciação implícita[editar]

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função y^2 - 2y -3 = x^3 - 3x^2 é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

2y\ \mbox{d}y - 2\ \mbox{d}y=3x^2\ \mbox{d}x-6x\ \mbox{d}x

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}.

 \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2(y-1)}

A equação que representa a função apresenta dois valores possiveis para y:

 \left[y=\left(2-x\right) \sqrt{x+1}+1 \quad , \quad y=\left(x-2\right)\sqrt{x+1}+1\right]

O que nos dá duas derivadas, quando substituimos o valor de y na sua derivada:

 \left[\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2 \left(2-x\right) \sqrt{x+1}} \quad , \quad \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2\left(x-2\right)\sqrt{x+1}}\right]

Simplificando:

 \left[\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x \sqrt{x+1}}{2(x+1)} \quad , \quad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{3x \sqrt{x+1}}{2(x+1)}\right]

Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.