Introdução ao Cálculo/Indeterminação e integrais impróprias

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo II

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Indeterminação

Nos deparamos constantemente com situações onde é necessário que algum grau de indeterminação seja considerado e analisado, na matemática elementar temos as formas indeterminadas que por séculos intrigou matemáticos e filósofos famosos, uma das mais comuns é a raiz ${\sqrt {-1}}$, porém lidar com esta indefinição em matemática elementar já sabemos, um estudo sobre números complexos será aplicado ao Cálculo nos livros subseqüentes. Para o presente estudo faremos a análise do cálculo em funções que geram valores indefinidos, mas que podem ser reavaliados por um limite infinitesimal. O artifício de analisar a função sob um limite pode nos revelar resultados bastante conclusivos, que podem sanar boa parte dos problemas que encontramos no uso do cálculo.

Que esteja bem claro que a análise dos valores aqui sugerida não traz um argumento definitivo para a indeterminação, apenas traz meios capazes de solucionar questões que passam pela indeterminação, mas que podem ser solucionados quando as tendências são suficientes para uma conclusão a respeito do problema dependente e não da indeterminação em si.

Formas indeterminadas

Basicamente analisaremos as formas indeterminadas geradas pelo denominador nulo, das quais destacamos os seguintes casos:

• Forma ${\frac {0}{0}}$
• Forma $f(x)\to \infty$
• Forma ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$

Ainda temos:

• Forma $f(x)=0\cdot \infty \,\!$
• Forma $f(x)=\infty \ -\ \infty \,\!$

Na maioria dos casos temos a indeterminação em um ponto do domínio, onde o valor de um denominador é nulo para uma determinada função, desta forma podemos definir a razão como uma função composta da seguinte forma:

$h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$

De onde podemos fazer as seguintes considerações:

Dado um ponto ${[a,h(a)]}$ onde:

• $f(a)=0$
• $g(a)=0$
• $\lim _{x\to a}g(x)\neq 0$

Podemos dizer que $h(x)$ apresenta uma forma indeterminada em $[a,h(a)]$, porém o limite: $\lim _{x\to a}$ pode ser determinado. Podemos fazer:

$\lim _{x\to a}h(x)={\frac {\lim _{x\to a}f(x)}{\lim _{x\to a}g(x)}}$

A segunda forma de indeterminação acontece quando, dado um ponto ${[a,h(a)]}$, onde:

• $h(a)\quad \not \exists$
• $\lim _{x\to a}g(x)\neq 0$
• $\lim _{x\to a}g(x)\to 0$

Na terceira forma de indeterminação acontece quando, dado um ponto ${[a,h(a)]}$, onde:

• $h(a)\quad \not \exists$
• $\lim _{x\to a}f(x)\to \pm \infty$
• $\lim _{x\to a}g(x)\to \pm \infty$

T42 - Valor médio de Cauchy

Seja $f(x)\,\!$ a função numerador e $g(x)\,\!$ a função denominador em uma relação, então há pelo menos um valor $(c)\,\!$ no intervalo $[a,b]\,\!$ no qual esta relação é definida por:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f\ '(c)}{g\ '(c)}}$

Demonstração

Considere que em cada extremo do intervalo tenhamos um ponto para cada função, então poderemos traçar uma reta para cada extremo de cada função no intervalo, definimos duas retas que nos possibilitam afirmar que há pelo menos um ponto de cada função neste intervalo com derivada igual a inclinação destas retas, por outro lado podemos criar condições para que a relação destas retas obedeçam as condições do teorema de Rolle e conseqüentemente o teorema do valor médio para derivadas, uma nova função que traz esta possibilidade é esta:

$h(x)=f(x)-m\cdot g(x)\,\!$

onde:

$m={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$,

derivando a equação:

$h\ '(x)=f\ '(x)-m\cdot g\ '(x)\,\!$

Desta forma teremos pelo menos um ponto $[c,h(c)]\,\!$ no intervalo onde a derivada: $h\ '(x)$ é nula,

$h\ '(c)=f\ '(c)-m\cdot g\ '(c)=0$

$f\ '(c)=m\cdot g\ '(c)$

$m={\frac {f\ '(c)}{g\ '(c)}}$

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f\ '(c)}{g\ '(c)}}$

isto é bem mais simplificado se pensarmos que:

$f\ '(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ e

$g\ '(c)={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}$

pelo teorema do valor médio para derivadas... Que depois de uma simples divisão nos dá o mesmo resultado.

T43 - Regra de L'Hôpital

Dada a função:

$h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$

indefinida em $[a,h(a)]\,\!$, é possível provar que:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

Caso os limites existam.

Demonstração do caso 1

Se $f(x)=g(x)=0\,\!$

Temos do Teorema do valor médio de Cauchy:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f\ '(c)}{g\ '(c)}}$

Note que podemos fazer $c=x\,\!$:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

Uma vez que temos $a<x<b\,\!$. observamos que:

$f(b)=f(a+\Delta )\,\!$ e

$g(b)=g(a+\Delta )\,\!$

sendo $f(a)=g(a)=0$ conforme definimos,

${\frac {f(a+\Delta )-f(a)}{g(a+\Delta )-g(a)}}={\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

se reduz a:

${\frac {f(a+\Delta )}{g(a+\Delta )}}={\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

Porém, fazer:

$\lim _{\Delta \to 0}{\frac {f(a+\Delta )}{g(a+\Delta )}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Portanto:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

Demonstração do caso 2

Se $f(x)\to 0\quad \land \quad g(x)\to 0\,\!$ quando $x\to \infty \,\!$,

Uma vez que desejamos encontrar:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Podemos promover uma mudança de variável, ou seja, se o limite acima leva as funções a se anularem no infinito, então podemos fazer:

$x={\frac {1}{u}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {f\ '({\frac {1}{u}})}{g\ '({\frac {1}{u}})}}$,

desenvolvendo temos:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {f\ '({\frac {1}{u}})}{g\ '({\frac {1}{u}})}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {-{\frac {1}{u^{2}}}f\ '(u)}{-{\frac {1}{u^{2}}}g\ '(u)}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {f\ '(u)}{g\ '(u)}}$

O que torna o limite independente da mudança da variável, portanto:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f\ '(x)}{g\ '(x)}}$

Apresentação do caso 3

Embora não seja apropriado para este estudo de "Cálculo I" a demonstração da regra para casos onde temos as indeterminações do tipo:

$h(x)\to {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$,

A mesma regra também é válida, desde que as derivadas do numerador e do denominador não sejam nem nulas nem infinitas.

Integrais impróprias

Até agora lidamos com integrais definidas com limites de integração determinados, neste momento introduziremos os casos onde os limites de integração são indefinidos, mais específicamente quando estes limites tendem a infinitos ou valores nulos que geram infinitos na função a ser integrada. Embora grande parte das funções tenham valores indefinidos quando integrados com limites infinitos, uma boa parte fornece valores definidos nestas situações, agora definimos a Integral imprópria como seque:

• 1. $F(x)|_{\ a}^{+\infty }=\int _{\ a}^{+\infty }f(x)dx$
  2. $F(x)|_{-\infty }^{\ b}=\int _{-\infty }^{\ b}f(x)dx$
  3. $F(x)|_{-\infty }^{+\infty }=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$
  4. $F(x)|_{\ 0}^{+\infty }=\int _{0}^{+\infty }f(x)dx$
  5. $F(x)|_{-\infty }^{\ 0}=\int _{-\infty }^{0}f(x)dx$

Todos os casos acima são integrais impróprias onde o valor pode se mostrar definido mesmo se os limites de integração não sejam total ou parcialmente definidos...

Há também a forma imprópria das integrais que fazem a função se tornar indefinida no ponto do limite de integração, ou seja:

$f(a)\quad \not \exists$

$f(b)\quad \not \exists$

$\lim _{x\to a}f(x)=k_{1}$

$\lim _{x\to b}f(x)=k_{2}$

De forma que se os limites existem é possível que a integral possa ser definida.

Limites infinitos

No caso em que os limites de integração se estendem a valores infinitos e que existe o limite da função para estes valores dizemos que a integral $converge\,\!$ e que quando a função não apresenta definição para o limite dizemos que esta $diverge\,\!$, ou seja chamamos as integrais impróprias de $convergentes\,\!$ ou $divergentes\,\!$ de acordo com a possibilidade ou não da definição do limite que permite calcular o referido valor da integral.

Para esta abordagem podemos verificar que, se $F(x)\,\!$ é a integral indefinida de $f(x)\,\!$, podemos estabelecer que quando:

$F(x)=\int _{\ a}^{\infty }f(x)dx$ ,

podemos fazer o limite da função, o que nos revela:

$F(x)=\lim _{b\to \infty }\int _{\ a}^{\ b}f(x)dx$

Desta forma podemos adotar o método de eliminação dos coeficientes nulos no infinito, usados para o caso de cálculo de limites no infinito, ou seja:

1. Calcula-se a integral indefinida da função;
2. Fatora-se a função para encontrar os maiores expoentes;
3. Simplifica-se a mesma;
4. E aplica-se o limite no infinito para cada valor de limite de integração quando usamos o Teorema fundamental do cálculo.

Limites nulos

Para os casos onde o cálculo da integral definida em limites de integração nulos conduz a valores indefinidos a regra é semelhante à anterior;

Seja as integrais definidas:

$\int _{-a}^{\ 0}f(x)dx$

$\int _{0}^{b}f(x)dx$

Sendo a integral indefinida:

$F(x)=\int f(x)dx$

Se: $F(0)\quad \not \exists \quad \land \quad \lim _{x\to 0}F(x)\quad \exists \,\!$

Podemos calcular a integral definida fazendo:

$\lim _{b\to 0}\int _{-a}^{\ b}f(x)dx$

$\lim _{a\to 0}\int _{a}^{b}f(x)dx$

T44 - Fórmula de Taylor

Seja a função $f(x)\,\!$ diferenciável no intervalo $[a,x]\,\!$, é possível demonstrar que:

$f(x)=f(a)+f'\ (a)(x-a)+{\frac {f''\ (a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}\ (a)}{3!}}(x-a)^{3}+\dots +{\frac {f^{(n)}\ (a)(x-a)^{n}}{n!}}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

Onde $\xi \,\!$ é chamado de abscissa do valor médio da derivada $f^{(n+1)}\,\!$, quando intui-se que quanto maior a ordem da derivada maior a quantidade de parcelas na equação e maior será a precisão da síntese da função $f(x)\,\!$ através do polinômio.

Neste caso podemos dizer que o último termo da equação é o resto, dizemos que há convergência, o que torna a síntese possível, quando o resto diminui consecutivamente tendendo a zero, o que nos permite dizer que quanto menor o seu valor mais precisa a síntese da função.

Demonstração:

A função $f(x)\,\!$ pode ser expressa, segundo o teorema fundamental do cálculo como:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}(x-u)^{0}f\ '(u)du$

Podemos separar a integral não resolvida da equação fazendo:

$z=\int _{a}^{x}(x-u)^{0}f\ '(u)du$

Se calcularmos a integral acima aplicando a integração por partes, teremos:

$z=-f\ '(u)(x-u)|_{a}^{x}+\int _{a}^{x}(x-u)f\ ''(u)du$

$z=\left[f\ '(a)(x-a)-f\ '(x)(x-x)\right]+\int _{a}^{x}(x-u)f\ ''(u)du$

$z=f\ '(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-u)f\ ''(u)du$

logo:

$f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-u)f\ ''(u)du$

Fazendo esta substituição sucessivamente obtemos a fórmula de Taylor facilmente, façamos mais um passo para que se evidencie com mais clareza:

$z=f\ '(a)(x-a)-\left.{\frac {f\ ''(u)(x-u)^{2}}{2!}}\right|_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {(x-u)^{2}}{2!}}f^{(3)}(u)du$

$z=f\ '(a)(x-a)+\left[{\frac {f\ ''(a)(x-a)^{2}}{2!}}-{\frac {f\ ''(x)(x-x)^{2}}{2!}}\right]+\int _{a}^{x}{\frac {(x-u)^{2}}{2!}}f^{(3)}(u)du$

$z=f\ '(a)(x-a)+{\frac {f\ ''(a)(x-a)^{2}}{2!}}+\int _{a}^{x}{\frac {(x-u)^{2}}{2!}}f^{(3)}(u)du$

O que nos dá:

$f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+{\frac {f\ ''(a)(x-a)^{2}}{2!}}+\int _{a}^{x}{\frac {(x-u)^{2}}{2!}}f^{(3)}(u)du$

A evolução da equação é notória e por indução de $n\,\!$ integrações temos a referida fórmula.

Podemos definir o resto desta forma:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

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