Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV

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Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivos[editar | editar código-fonte]

Indução Matemática[editar | editar código-fonte]

Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.

Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:

1+100=101
2+99=101
3+98=101
...

Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:

Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:

Podemos generalizar isto assim:

Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.

Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?

Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.

Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso, - dada um propriedade , se for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que vale para todos os elementos do conjunto em questão.

Em termos mais simples, se verificada a propriedade no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica for derivado que o sucessor deste também verifica , está provado que todos os elementos verificam .

Exemplo:

  • Tese:

Para

  • Hipótese:


O que prova a tese.

Problema da indução[editar | editar código-fonte]