Uma outra forma de lidar sintáticamente com o CPC é axiomáticamente. Como você deve saber, axiomas são proposições tomadas como verdadeiras a partir das quais os teoremas são derivados.
Funciona assim:
Seja o conjunto dos axiomas e todas suas instâncias, se , então . Ou seja, se é dedutível dos axiomas, então é teorema.
E seja um conjunto qualquer de fórmulas, se então . Ou seja, se é dedutível de um conjunto de fórmulas juntamente com os axiomas, então um raciocínio que tenha como premissas e como conclusão é válido.
A escolha adequada de axiomas e da regra de inferência primitiva confere ao sistema tanto a correção quanto a completude.
Gottlob Frege usava apenas a implicação e a negação como operadores primitivos, definindo as demais operações por meio destes, mas sem criar símbolos para expressá-las. Sua axiomática do CPC tem seis axiomas e uma regra de inferência.
Por questões de economia, demonstraremos algumas regras de inferência derivadas e as aplicaremos.
Nas tabelas onde as deduções são expressas, "wff" significa "well formed formula", ou seja, "fórmula bem formada".
THEN-1:
THEN-2:
THEN-3:
FRG-1:
FRG-2:
FRG-3:
MP:
Regra THEN-1*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
premissa
|
2. |
|
THEN-1
|
3. |
|
MP 1,2.
|
Regra THEN-2*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
premissa
|
2. |
|
THEN-2
|
3. |
|
MP 1,2.
|
Regra THEN-3*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
premissa
|
2. |
|
THEN-3
|
3. |
|
MP 1,2.
|
Regra FRG-1*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
FRG-1
|
2. |
|
premissa
|
3. |
|
MP 2,1.
|
Regra TH1*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
premissa
|
2. |
|
THEN-1
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
THEN-2
|
5. |
|
MP 3,4
|
6. |
|
premissa
|
7. |
|
MP 6,5.
|
Teorema TH1:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1
|
2. |
|
THEN-2
|
3. |
|
TH1* 1,2
|
4.
|
|
THEN-3
|
5. |
|
MP 3,4.
|
Teorema TH2:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1
|
2. |
|
FRG-1
|
3. |
|
TH1* 1,2.
|
Teorema TH3:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH 2
|
2. |
|
THEN-3
|
3. |
|
MP 1,2.
|
Teorema TH4:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH3
|
2. |
|
FRG-1
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
FRG-2
|
5. |
|
TH1* 3,4.
|
Teorema TH5:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
FRG-1
|
2.
|
|
THEN-3
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
FRG-3, with A := B
|
5. |
|
TH1* 4,3
|
6.
|
|
FRG-1
|
7. |
|
MP 5,6.
|
Teorema TH6:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH4, with A := B, B := A
|
2. |
|
TH5, with A := B, B := A
|
3.
|
|
FRG-1
|
4. |
|
MP 2,3
|
5. |
|
TH1* 4,1.
|
Teorema TH7:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
FRG-3
|
2. |
|
FRG-2
|
3. |
|
TH1* 1,2.
|
Teorema TH8:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH7, com A :=
|
2.
|
|
THEN-3
|
3. |
|
MP 1,2.
|
Teorema TH9:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1, com A := B, B := .
|
Teorema TH10:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH7
|
2.
|
|
THEN-3
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
TH5
|
5. |
|
TH1* 3,4.
|
Teorema TH11:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH10
|
2.
|
|
THEN-2
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
TH5
|
5. |
|
TH1* 3,4.
|
Teorema TH12:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1
|
2.
|
|
TH1
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
THEN-1
|
5. |
|
TH1* 3,4.
|
Teorema TH13:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-2
|
2. |
|
THEN-3* 1
|
3. |
|
TH7
|
4. |
|
MP 3,2.
|
Regra TH14*:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
premissa
|
2. |
|
THEN-1
|
3. |
|
MP 1,2
|
4. |
|
THEN-2
|
5. |
|
MP 3,4
|
6.
|
|
THEN-1
|
7. |
|
MP 5,6
|
8. |
|
THEN-2* 7
|
9. |
|
premissa
|
10. |
|
MP 9,8.
|
Teorema TH15:
#
|
wff
|
razão
|
1.
|
|
THEN-2
|
2. |
|
TH12
|
3.
|
|
TH14* 1,2
|
4.
|
|
THEN-3* 3
|
5. |
|
THEN-1
|
6.
|
|
TH1* 5,4
|
7.
|
|
THEN-3* 6
|
8. |
|
TH13
|
9. |
|
TH1* 7,8.
|
Teorema TH16:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
FRG-1
|
2. |
|
THEN-3* 1
|
3. |
|
FRG-3
|
4. |
|
TH1* 3,2
|
5. |
|
THEN-3* 4
|
6. |
|
FRG-2
|
7. |
|
THEN-1
|
8. |
|
MP 6,7
|
9.
|
|
THEN-2
|
10. |
|
MP 8,9
|
11. |
|
TH1* 5,10.
|
Teorema TH17:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH16, com B := \neg B
|
2. |
|
FRG-3
|
3. |
|
THEN-1
|
4. |
|
MP 2,3
|
5.
|
|
THEN-2
|
6. |
|
MP 4,5
|
7. |
|
TH1* 6,1.
|
Teorema TH18:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1
|
2. |
|
TH16
|
3. |
|
TH1* 2,1
|
4.
|
|
TH15
|
5. |
|
MP 3,4
|
6. |
|
TH17
|
7. |
|
TH1* 5,6
|
8.
|
|
THEN-2
|
9. |
|
MP 7,8
|
10. |
|
FRG-1
|
11. |
|
TH1* 10,9
|
12. |
|
TH17
|
13. |
|
TH1* 11,12.
|
Teorema TH19:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH10
|
2. |
|
FRG-3
|
3. |
|
THEN-1
|
4. |
|
MP 2,3
|
5.
|
|
THEN-2
|
6. |
|
MP 4,5
|
7. |
|
FRG-1* 6
|
8. |
|
TH14* 1,7
|
9. |
|
TH18
|
10. |
|
FRG-1* 9
|
11. |
|
TH14* 8,10
|
12.
|
|
THEN-1* 11
|
13.
|
|
THEN-2* 12
|
14.
|
|
THEN-2
|
15.
|
|
TH1* 13,14
|
16. |
|
FRG-1
|
17.
|
|
TH1* 16,15
|
18.
|
|
TH16
|
19.
|
|
TH14* 17,18
|
20. |
|
FRG-1
|
21.
|
|
TH1
|
22.
|
|
MP 20,21
|
23.
|
|
TH1* 19,22.
|
Teorema TH20:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH11
|
2. |
|
TH7
|
3. |
|
MP 2,1.
|
Teorema TH21:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
TH2, com B := ~B
|
2. |
|
FRG-2
|
3. |
|
TH14* 1,2.
|
O lógico e filósofo polonês Jan Łukasiewicz, famoso por seus estudos em lógicas não-clássicas, provou que o THEN-3 é dedutível do THEN-1 e do THEN-2.
- THEN-1:
- THEN-2:
- Tese 1:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1*
|
2. |
|
THEN-2
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
- Tese 2:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-2*
|
2. |
|
Prop. 1
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
*
- Tese 3:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
Prop.2
|
2. |
|
THEN-1*
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
- Tese 4:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-2*
|
2. |
|
Prop.3
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
*
- Tese 5:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1*
|
2. |
|
THEN-1
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
- Tese 6:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
Prop.4*
|
2. |
|
Prop.5**
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
**
**
**
- Tese 7:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
Prop.3*
|
2. |
|
Prop.6
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
*
- THEN-3:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
Prop.7*
|
2. |
|
THEN-2
|
3. |
|
MP 1,2.
|
*
*
- THEN-1:
- THEN-2:
- AND-1:
- AND-2:
- AND-3:
- OR-1:
- OR-2:
- OR-3:
- NOT-1:
- NOT-2:
- NOT-3:
- IFF-1:
- IFF-2:
- IFF-3:
#
|
wff
|
razão
|
1. |
|
THEN-1*
|
2. |
|
THEN-1**
|
3. |
|
THEN-2***.
|
4. |
|
2,3 MP.
|
5. |
|
1,4 MP.
|
* ,
** ,
*** , ,