Lógica Matemática/Árvores de Refutação

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1. REGRA DA DUPLA NEGAÇÃO (~~) : Uma fórmula do tipo ~~A gera uma linha e escrevemos A na linha. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~~A pertence pois, ~~ A é verdadeira se e somente se A é verdadeira.

2. REGRA DA CONJUNÇÃO (Ù): Uma fórmula do tipo A Ù B gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A Ù B pertence pois, A Ù B assume valor V se, e somente, as fórmulas A e B são verdadeiras. 1. A Ù B Ð 2. A 3. B

3. REGRA DA DISJUNÇÃO (Ú): Uma fórmula do tipo A Ú B gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A Ú B pertence pois, A Ú B assume valor V se, e somente, a fórmula Afsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdsdfeira ou a fórmula B é verdadeira. 1.A Ú B Ð

     /   \

2. A B

4. REGRA DA IMPLICAÇÃO (®): Uma fórmula do tipo A ® B gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas ~ A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A ® B pertence pois, A ® B assume valor V se, e somente, a fórmula ~ A é verdadeira ou a fórmula B é verdadeira. 1. A ® B Ð

         /   \

2. ~ A B

5. REGRA DA BI- IMPLICAÇÃO («) : Uma fórmula do tipo A«B gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas A e B em um ramo e as fórmulas ~A e~B no outro ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A«B pertence pois, A«B assume valor V se, e somente, a fórmula (A Ù B) é verdadeira ou a fórmula (~ A Ù~ B) é verdadeira. 1.A«B Ð

     /  \

2.A ~ A 3.B ~ B

6. REGRA DA NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO (~Ù ): Uma fórmula do tipo ~(A Ù B) gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas ~A e ~B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(A Ù B) pertence pois, ~(A Ù B) assume valor V se, e somente, a fórmula ~A é verdadeira ou a fórmula ~B é verdadeira. 1.~ (A Ù B)Ð

        /    \

2. ~A ~B

7. REGRA DA NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO (~Ú ) : Uma fórmula do tipo ~(A Ú B) gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas ~A e ~B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(A Ú B) pertence pois, ~(A Ú B) assume valor V se, e somente, as fórmulas ~Ae~B são verdadeiras. 1.~ (A Ú B) Ð 2. ~ A 3. ~ B

8. REGRA DA NEGAÇÃO DA IMPLICAÇÃO (~®) : Uma fórmula do tipo ~(A ® B) gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e ~B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(A® B) pertence pois, ~(A ® B) assume valor V se, e somente, as fórmulas Ae ~B são verdadeiras. 1. ~ (A ® B) Ð 2. A 3. ~B

9. REGRA DA NEGAÇÃO DA BI- IMPLICAÇÃO (~«): Uma fórmula do tipo ~(A«B) gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas ~A e B em um ramo e as fórmulas A e ~B no outro ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(A«B) pertence pois, ~(A«B) assume valor V se, e somente, a fórmula (~A Ù B) é verdadeira ou a fórmula (A Ù~B) é verdadeira. 1.~(A«B) Ð

        /    \

2. ~A A 3. B ~B

10. RAMO FECHADO : Um ramo será fechado se nele existem uma fórmula A e sua negação ~A e escrevemos X no final do ramo. 1. ~A 2. A 3. X