Lógica Matemática/Cálculo Proposicional

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Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .

Proposição[editar | editar código-fonte]

Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Como exemplo de proposições temos:

  • A terra é redonda.
  • O dado é quadrado.

As proposições, de acordo com a lógica clássica, devem observar os seguintes princípios (entre outros):

  • Príncipio da não-contradição: uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo.
  • Príncipio do terceiro excluído: uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.

Símbolos[editar | editar código-fonte]

Variáveis proposicionais[editar | editar código-fonte]

Dentro da lógica proposicional cada proposição é considerado um elemento simples (átomo), representado com uma letra minúscula a partir do p. (Por exemplo, p, q e outros).

Conectivos lógicos[editar | editar código-fonte]

As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.

Valor lógico Símbolo Expressão Observação
Negação , ¬ , ~ ou ' não, é falso, não é verdade que inverte o valor da proposição
Conjunção e, mas , também, além disso nenhuma
Disjunção ou não confundir com o ou exclusivo
Condicional se...então, implica, logo, somente se nenhuma
Bi-condicional ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ... nenhuma

Uma cadeia que forma uma expressão válida (isto é, que ofereça um valor F ou V de retorno) é chamada de fórmula bem-formulada (fbf).

Tabelas-verdades[editar | editar código-fonte]

Tabelas-verdades são matrizes de V ou F que uma proposição assume de acordo com o conectivo lógico associado a ele. Utilizaremos a letra p para representar o uso de conectivos sobre apenas uma proposição, e p e q quando o conectivo age sobre duas proposições.


Conjunção[editar | editar código-fonte]

p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F

Disjunção[editar | editar código-fonte]

p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F

Condicional[editar | editar código-fonte]

p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V

Bi-condicional[editar | editar código-fonte]

p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V

Disjunção-exclusiva[editar | editar código-fonte]

p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F

Proposições compostas[editar | editar código-fonte]

Uma proposição composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. Ex: P: pq ou P (p,q):p,q. Para n proposições simples com possibilidades V e F, considera-se que a tabela-verdade que os combina terá linhas.

Tautologia

Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Verdadeiras (V).

Contradição

Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Falsas (F).

Contingência

Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.

Implicação[editar | editar código-fonte]

Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. Ou seja, dadas duas proposições P e Q, P implica Q todas as vezes que ambos os lados aparecerem Ve.

p q (P) pq (Q)pq (R) pq
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V

Equivalência lógica[editar | editar código-fonte]

Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. A equivalência lógica é representada por ()...,,

Resumo[editar | editar código-fonte]

  • Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
  • Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo e uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.
  • As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
  • Uma Proposição Composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula.
  • Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são V.
  • Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são F.
  • Contingência é uma proposição composta onde os valores F e V aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
  • Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira.
  • Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]