Overview em Sistemas de Controle

Estudo de um Projeto de Sistema de Controle (Nº 1)

Revisão sobre Modelos Matemáticos

Um sistema mecânico massa-mola-amortecedor é mostrado na figura Figura 1.0. A massa se movimenta segundo a equação (1) e seu movimento é denotado por y(t).

Figura 1.0. Sistema Massa Mola com Amortecedor .

• $\mathbf {M{\ddot {y}}(t)+b{\dot {y}}(t)+ky(t)=r(t)}$ (1)

• Resolvendo essa a equação (1):

   (I):

   ${\mathcal {L}}\{M{\ddot {y}}(t)+b{\dot {y}}(t)+ky(t)\}={\mathcal {L}}\{r(t)\}$

   $M(s^{2}Y(s)-sy(0^{-})-{\dot {y}}(0^{-}))+b(sY(s)-y(0^{-}))+kY(s)=R(s)$

   Quando: $r(t)=0$ e $y(0^{-})=y_{0}$ e ${\dot {y}}(0^{-})=0)\Rightarrow$

   $M(s^{2}Y(s)-sy_{0})+b(sY(s)-y_{0})+kY(s)=0$

   $Ms^{2}Y(s)-Msy_{0}+bsY(s)-by_{0}+kY(s)=0$

   $\mathbf {Y(s)={\frac {y_{0}(Ms+b)}{(Ms^{2}+bs+k)}}={\frac {p(s)}{q(s)}}}$  (2) 

   Onde q(s) quando igualada a zero é conhecida como Equação Característica. As raíses dessa equação são chamadas de polos e as raízes de p(s) são chamadas de zeros, nesse caso o existe um
 zero: $s={\frac {-b}{M}}$.

   (II):

   Fazendo um caso particular: ${\frac {k}{M}}=2$ e ${\frac {b}{M}}=3$ $\Rightarrow$

   $Y(s)={\frac {y_{0}(Ms+3M)}{(Ms^{2}+3Ms+2M)}}={\frac {y_{0}(s+3)}{(s^{2}+3s+2)}}={\frac {y_{0}(s+3)}{(s+2)(s+1)}}$

   Expandindo em Frações Parciais: 

   $Y(s)={\frac {k_{1}}{(s+1)}}+{\frac {k_{2}}{(s+2)}}$

   Onde $\mathbf {k_{1}}$ e $\mathbf {k_{2}}$ são conhecidos como resíduos. Fazendo $y_{0}=1$ e multiplicando os dois lados da equação $(s+1)(s+2)$:

   $Y(s)(s+1)(s+2)=k_{1}(s+2)+k_{2}(s+1)\Rightarrow (s+3)=k_{1}(s+2)+k_{2}(s+1)$

   $s=-1:k_{1}={\frac {-1+3}{-1+2}}={\frac {2}{1}}=2$. Ou seja, ${\frac {(s+1)(s+3)}{(s+1)(s+2)}}{\Bigg |}_{s_{1}=-1}=2$
 
   $s=-2:k_{2}={\frac {-2+3}{-2+1}}={\frac {1}{-1}}=-1$. Ou seja, ${\frac {(s+2)(s+3)}{(s+2)(s+1)}}{\Bigg |}_{s_{1}=-2}=-1$

   Isso nos leva a:

   $Y(s)={\frac {2}{(s+1)}}+{\frac {-1}{(s+2)}}\Rightarrow$

   ${\mathcal {L}}^{-1}\{Y(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigg \{}{\frac {2}{(s+1)}}+{\frac {-1}{(s+2)}}{\Bigg \}}\Rightarrow$

   ${\mathcal {L}}^{-1}\{Y(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigg \{}{\frac {2}{(s+1)}}{\Bigg \}}+{\mathcal {L}}^{-1}{\Bigg \{}{\frac {-1}{(s+2)}}{\Bigg \}}\Rightarrow$

   $y(t)=2e^{-t}+-e^{-2t}$

   A Equação (2) pode ser escrita da seguinte forma:

   $\mathbf {Y(s)={\frac {y_{0}(Ms+b)}{(Ms^{2}+bs+k)}}={\frac {(s+2\zeta \omega _{n})y_{0}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}$  (3)  

   Onde $\mathbf {\zeta }$ é conhecido como Coeficiente de Amortecimento e $\mathbf {\omega _{n}}$ a Frequência Natural. Isso nos leva as raízes da equação característica:

   $\Delta =(2\zeta \omega _{n})^{2}-4\omega _{n}^{2}$  $\Rightarrow$  $\Delta =4\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}-4\omega _{n}^{2}$  $\Rightarrow$  $\Delta =4\omega _{n}^{2}(\zeta ^{2}-1)$ $\Rightarrow$

   ${\sqrt {\Delta }}={\sqrt {4\omega _{n}^{2}(\zeta ^{2}-1)}}=2\omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\Rightarrow$ 

   $s_{1},s_{2}={\frac {-2\zeta \omega _{n}\pm 2\omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}{2}}\Rightarrow$

   $\mathbf {s_{1},s_{2}=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}$ (4)

   (III):

   Sabendo que $\mathbf {\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$ e $\mathbf {\zeta ={\sqrt {kM}}}$, dado que:

   $Y(s)={\dfrac {y_{0}M(s+{\dfrac {b}{M}})}{M(s^{2}+{\dfrac {b}{M}}s+{\dfrac {k}{M}})}}={\dfrac {y_{0}(s+{\dfrac {b}{M}})}{(s^{2}+{\dfrac {b}{M}}s+{\dfrac {k}{M}})}}\Rightarrow$ 

   $2\zeta \omega _{n}={\frac {b}{M}}$ e $\omega _{n}^{2}={\frac {k}{M}}\Rightarrow$ 

   $\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{M}}}$ e $\zeta ={\frac {b}{2{\sqrt {kM}}}}$ 

   Quando $\mathbf {\zeta >1}$ as raízes são reais e diferentes e o sistema é superamortecido, quando $\mathbf {\zeta <1}$ as raízes são complexas e o sistema é subamortecido, quando $\mathbf {\zeta =1}$ as raízes são reais e iguais e o sistema é criticamente amortecido.

   (IV):

   Quando $\zeta <1$ $\Rightarrow$ $\zeta ^{2}-1=(-1)(1-\zeta ^{2})$ $\Rightarrow$ ${\sqrt {(-1)(1-\zeta ^{2})}}=j{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$ isso implica que:

   $\mathbf {s_{1},s_{2}=-\zeta \omega _{n}\pm j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$  (5) 

   Utilizando a  Figura 2.0  para o entendimento: ( (*)  sabendo que os valores para o calculo do ângulo \theta são absolutos)

       ${\begin{Bmatrix}1)|s_{1}|=|s_{2}|={\sqrt {\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}+\omega _{n}^{2}(1-\zeta ^{2})}}={\sqrt {\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}+\omega _{n}^{2}-\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}}}={\sqrt {\omega _{n}^{2}}}=\omega _{n}\\2)Re\{s_{1}\}=Re\{s_{2}\}=-\omega _{n}\zeta \\3)Im\{s_{1}\}=-Im\{s_{2}\}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\end{Bmatrix}}\Rightarrow$ 
       

       ${\begin{Bmatrix}1)\theta =\arctan {\frac {j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}{\zeta \omega _{n}}}\\2)\theta =\arccos {\frac {\zeta \omega _{n}}{\omega _{n}}}\\3)\theta =\arcsin {\frac {j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}{\omega _{n}}}\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
       

       ${\begin{Bmatrix}1)\theta =\arctan {\frac {j{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}{\zeta }}\\2)\theta =\arccos \zeta \\3)\theta =\arcsin j{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\end{Bmatrix}}$  (6) 
     

Figura 2.0. Plotagem dos Polos e dos Zeros de Y(s).

   É interessante notar $\mathbf {\theta =\arccos \zeta }$: quando $\mathbf {\zeta }$ diminui o que diminui é o $\mathbf {\cos \theta }$, nesse caso o ângulo vai no sentido horário aumentando o seu valor e tornando o seu cosseno mais próximo de zero, ou seja, aproximando o seu valor de $\mathbf {\frac {\pi }{2}}$. Isso mostra que a partir que eu diminuo o meu coefieciente de amortecimento a parte real das minhas raízes tendem a diminuir, levando a um conteudo completamente imaginário, isso vai se mostrar mais adiante como um sistema completamente oscilatório, por outro lado a medida que o coeficiente de amortecimento aumenta o cosseno tende a aumentar isso leva a uma diminuição da parte imaginária das raízes (um sistema menos oscilatório) e a um $\mathbf {\theta }$ mais próximo de 0, ou seja, quando $\mathbf {\theta =0\Rightarrow \zeta =1}$ e quando $\mathbf {\theta =1\Rightarrow \zeta ={\frac {\pi }{2}}}$ como mostra a  Figura 3.0 . Isso nos leva a conclusão de que como quando o $\mathbf {\zeta =1}$ o sistema é criticamente amortecido e que quando $\mathbf {\zeta =1}$ o $\mathbf {\theta =0}$, então quando o $\mathbf {\theta =0}$ o sistema é criticamente amortecido, usando o mesmo raciocínio, como quando $\mathbf {\zeta =0}$ o sistema é subamortecido e que quando $\mathbf {\zeta =0}$ o $\mathbf {\theta ={\frac {\pi }{2}}}$, então quando o $\mathbf {\theta ={\frac {\pi }{2}}}$ o sistema é subamortecido, e quando $\mathbf {0<\theta <={\frac {\pi }{2}}}$ o sistema é subamortecido, só lembrando que quando $\mathbf {\zeta >1}$ o sistema é superamortecido e se analisa $-\mathbf {\theta }$.

Figura 3.0.Lugar das Raízes / Variação do Amortecimento / Frequência Constante .

   (V):

   Tentemos encontrar a solução da equação (2) no domínio do tempo:
   

   $Y(s)={\frac {y_{0}(Ms+b)}{(Ms^{2}+bs+k)}}={\frac {k_{1}}{(s-s_{1})}}+{\frac {k_{2}}{(s-s_{2})}}={\frac {k_{1}}{(s-s_{1})}}+{\frac {k_{2}}{(s-{\hat {s}}_{1})}}$ 

   Onde $\mathbf {{\hat {s}}_{1}}$ é o conjugado de $\mathbf {s_{1}}$ e $\mathbf {k_{1}}$ e $\mathbf {k_{2}}$ são resíduos.Multiplicando os dois lados da euqação por $(s-s_{1})(s-{\hat {s}}_{1})$:

    $Y(s)(s-s_{1})(s-{\hat {s}}_{1})=k_{1}(s-{\hat {s}}_{1})+k_{2}(s-s_{1})$

    $(s+2\zeta \omega _{n})y_{0}=k_{1}(s-{\hat {s}}_{1})+k_{2}(s-s_{1})$

    $s=s_{1}:k_{1}={\frac {(s_{1}+2\zeta \omega _{n})y_{0}}{(s_{1}-{\hat {s}}_{1})}}$

    $s=s_{2}:k_{2}={\frac {({\hat {s}}_{1}+2\zeta \omega _{n})y_{0}}{({\hat {s}}_{1}-s_{1})}}$

    Fazendo o uso da formula de Euler: $z=|z|(\cos \theta +\sin \theta j)=|z|e^{j\theta }$

    ${\begin{Bmatrix}1)k_{1}={\frac {N_{1}}{D_{1}}}\\2)k_{2}={\frac {N_{2}}{D_{2}}}\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
    

    ${\begin{Bmatrix}1)N_{1}=(s_{1}+2\zeta \omega _{n})y_{0}=(-\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+2\zeta \omega _{n})y_{0}=(\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})y_{0}\\2)D_{1}=(s_{1}-{\hat {s}}_{1})=(-\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+\zeta \omega _{n}+\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})=2j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\\3)N_{2}=({\hat {s}}_{1}+2\zeta \omega _{n})y_{0}=(-\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+2\zeta \omega _{n})y_{0}=(\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})y_{0}\\4)D_{2}=({\hat {s}}_{1}-s_{1})=(-\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})=-2j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\\\end{Bmatrix}}\Rightarrow ,$ (Lembrando de $\mathbf {(6)}$ e $|s_{1}|=|{\hat {s}}_{1}|=\omega _{n}$)
    

    ${\begin{Bmatrix}1)N_{1}=M_{1}e^{j\theta }y_{0}\\2)D_{1}=M_{2}e^{\frac {\pi }{2}}\\3)N_{2}=M_{1}e^{-j\theta }y_{0}\\4)D_{2}=M_{2}e^{\frac {-\pi }{2}}\\\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
    

    ${\begin{Bmatrix}1)k_{1}={\frac {M_{1}e^{j\theta }y_{0}}{M_{2}e^{\frac {\pi }{2}}}}\\2)k_{2}={\frac {M_{1}e^{-j\theta }y_{0}}{M_{2}e^{\frac {-\pi }{2}}}}\\\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
    

    ${\begin{Bmatrix}1)k_{1}={\frac {\omega _{n}e^{j\theta }y_{0}}{2\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}e^{\frac {\pi }{2}}}}\\2)k_{2}={\frac {\omega _{n}e^{-j\theta }y_{0}}{2\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}e^{\frac {-\pi }{2}}}}\\\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
    

    ${\begin{Bmatrix}1)k_{1}={\frac {e^{(j\theta -{\frac {\pi }{2}})}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\\2)k_{2}={\frac {e^{({\frac {\pi }{2}}-j\theta )}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\\\end{Bmatrix}}\Rightarrow$
    

    $Y(s)={\dfrac {\dfrac {e^{j(\theta -{\dfrac {\pi }{2}})}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s-s_{1})}}+{\dfrac {\dfrac {e^{j({\dfrac {\pi }{2}}-\theta )}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s-{\hat {s}}_{1})}}={\dfrac {\dfrac {e^{j(\theta -{\dfrac {\pi }{2}})}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}+{\dfrac {\dfrac {e^{j({\dfrac {\pi }{2}}-\theta )}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}\Rightarrow {\mathcal {L}}^{-1}\{Y(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}{\Biggl \{}{\dfrac {\dfrac {e^{j(\theta -{\dfrac {\pi }{2}})}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}+{\dfrac {\dfrac {e^{j({\dfrac {\pi }{2}}-\theta )}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}{\Biggl \}}\Rightarrow y(t)={\mathcal {L}}^{-1}{\Biggl \{}{\dfrac {\dfrac {e^{j(\theta -{\dfrac {\pi }{2}})}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}{\Biggl \}}+{\mathcal {L}}^{-1}{\Biggl \{}{\dfrac {\dfrac {e^{j({\dfrac {\pi }{2}}-\theta )}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{(s+\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}}{\Biggl \}}=$ 
 
    $y(t)={\frac {e^{j(\theta -{\dfrac {\pi }{2}})}e^{(-\zeta \omega _{n}+j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})t}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}+{\frac {e^{j({\dfrac {\pi }{2}}-\theta )}e^{(-\zeta \omega _{n}-j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})t}y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {(e^{(j\theta -{\dfrac {j\pi }{2}}-\zeta \omega _{n}t+j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}+e^{({\dfrac {j\pi }{2}}-j\theta -\zeta \omega _{n}t-j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})})y_{0}}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}(e^{(j\theta -{\dfrac {j\pi }{2}}+j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}+e^{({\dfrac {j\pi }{2}}-j\theta -j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})})}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}(-je^{(j\theta +j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}+je^{(-j\theta -j\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})})}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}(-je^{j(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}+je^{-j(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})})}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}=$

   ${\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}(-j\cos(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})+\sin(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})+j\cos(-(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}))-\sin(-(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})))}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}(-j\cos(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})+\sin(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})+j\cos(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})+\sin(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}))}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$ 

   ${\dfrac {2e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}\sin(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}))}{2{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\dfrac {e^{-\zeta \omega _{n}t}y_{0}\sin(\theta +\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}))}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\Rightarrow$

    $\mathbf {y(t)={\Biggl [}{\dfrac {y(0)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}{\Biggl ]}.[e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin(\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t+\theta )]}$  (7)