Portal:Formação Básica/Matemática/Produtos notáveis

No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Exemplos:

${(\frac{4 x}{5 y} + z)}^{2} = \frac{16 x^{2}}{25 y^{2}} + \frac{8 x z}{5 y} + z^{2}$
$(8 x + a)^{2} = 64 x^{2} + 16 a x + a^{2}$

Quadrado da diferença de dois termos

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

A expressão difere, do quadrado da soma, apenas pelo sinal da segunda parcela:

$(x - y)^{2} = (x - y) . (x - y) = x^{2} - x y - y x + y^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Exemplos:

${(\frac{3 m}{4 n} - p)}^{2} = \frac{9 m^{2}}{16 n^{2}} - \frac{6 m p}{4 n} + p^{2}$
$(1 - 2 x)^{2} = 1 - 4 x + 4 x^{2}$

Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b) . (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}$

Exemplos:

$(a^{2} + b^{3}) . (a^{2} - b^{3}) = a^{4} - b^{6}$
$(\frac{a}{x} - 2) . (\frac{a}{x} + 2) = \frac{a^{2}}{x^{2}} - 4$

Cubo da diferença de dois termos

$(x - y)^{3} = (x - y) . (x - y) . (x - y)$
$= (x - y) . (x - y)^{2}$
$= (x - y) . (x^{2} - 2 x y + y^{2})$
$= x^{3} - 2 (x^{2}) y + x y^{2} - y x^{2} + 2 x y^{2} - y^{3}$
$= x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

Exemplos:

$(b - 2 c)^{3} = b^{3} - 6 b^{2} c + 12 b c^{2} - 8 c^{3}$
${(\frac{x}{y} - \frac{a}{b})}^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}} - \frac{3 a x^{2}}{b y^{2}} + \frac{3 a^{2} x}{b^{2} y} - \frac{a^{3}}{b^{3}}$
$(1 - x)^{3} = 1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos diferente do cubo da diferença apenas pelos sinais

$(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

Exemplos:

$(m + 3 n)^{3} = m^{3} + 9 m^{2} n + 27 m n^{2} + 27 n^{3}$
$(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

Quadrado da soma de três termos

$(a + b + c)^{2} = (a + b + c) . (a + b + c)$

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + a b + a c + b^{2} + a b + b c + a c + b c + c^{2}$

$\Rightarrow (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$

Exemplos:

$(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 y z$
$(x - 2 y - 3)^{2} = x^{2} + (- 2 y)^{2} + (- 3)^{2} + 2 x (- 2 y) + 2 x (- 3) + 2 (- 2 y) (- 3)$

= x^{2} + 4 y^{2} + 9 - 4 x y - 6 x + 12 y

Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum)

Considerando o produto notável $(x + a) . (x + b)$ , temos:

$(x + a) . (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b$

$\Rightarrow (x + a) . (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

Exemplos:

$(x + 4) (x + 3) = x^{2} + (4 + 3) x + 4.3 = x^{2} + 7 x + 12$
$(x - 2) (x - 6) = x^{2} + (- 2 - 6) x + (- 2) (- 6) = x^{2} - 8 x + 12$
$(x - 1) (x + 5) = x^{2} + (- 1 + 5) x + 5 (- 1) = x^{2} + 4 x - 5$