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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. *(No caso da figura, as raízes da função são* x = -1 e x=2).

Equação quadrática (também conhecida como equação do segundo grau) é um tipo de equação polinomial matemática. É necessário para que a equação seja considerada quadrática, que seja de segundo grau e siga a forma geral:

a x^{2} + b x + c = 0

, onde a, b e c são os coeficientes do polinômio e pertencem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de que a seja sempre diferente de zero (caso contrário, a equação torna-se linear. A quantidade x, figurante no trinômio, que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado, caso exista no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

A mais simples e principal maneira de se resolver uma equação quadrática é usando-se a chamada Fórmula de Bhaskara, desenvolvida pelo matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria, a qual se exprime a ideia de que:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

, sendo a, b e c os mesmos coeficientes da equação de segundo grau. A partir desta fórmula, há três possibilidades da resolução da equação. Se b² - 4ac, comumente abreviado como Δ, for positivo, a equação tem duas raízes reais e distintas; se Δ for igual a zero, a equação passa a ter apenas uma raiz real; se Δ for negativo, a equação tem duas raízes complexas e distintas.

Introdução

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio e que pertence ao 2º grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que, a incógnita x é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, levando-nos a crer que se a fosse igual a zero, anularia-se o x² e assim, a equação passaria a ser linear, de primeiro grau.

No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou principios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmullas se dervivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Paralela à evoulção dos estudos matemáticos da equação de segundo grau, cresceu também sua representação gráfica a chamada função quadrática. Nela, foi possível nítidamente, observar que há sempre um cume, valor máximo que a incógnita pode ter (chamada de Vértice), assim como a direção para a qual os valores crescem, etc. O conhecimento já guardado das funções, quando aplicados na equação quadrática, facilitaram demasiadamente os estudos de matemáticos ao longo da história.

Fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. A fórmula guarda este nome por ter sido divulgada pelo matemático e astronômo indiano Bhaskara Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta, porém, é atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. Por muitos tempos, muitos estudiosos tentaram achar uma solução para x dentro desta equação, visto ter sido complicado, já que havia um termo ao quadrado e o mesmo de primeiro grau, na mesma equação. Assim, a fórmula de Bhaskara utiliza um método inteligente, unido pura e simplesmente, uma fatoração de um polinômio para conseguir pôr apenas uma incógnita x no caso e assim, achar um valor definitivo:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow \\ (4 a) (a x^{2} + b x + c) = (4 a) \cdot 0 \Leftrightarrow \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0 \Leftrightarrow \\ (2 a x)^{2} + 2 (2 a x) b = - 4 a c \Leftrightarrow \\ (2 a x)^{2} + 2 (2 a x) b + b^{2} = - 4 a c + b^{2} \Leftrightarrow \\ (2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c \Leftrightarrow \\ \| 2 a x + b \| = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \end{matrix}$

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

Se $(2 a x + b) \geq 0$

$\begin{matrix} 2 a x + b = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x = \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b \Leftrightarrow \\ x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

Se $(2 a x + b) < 0$

$\begin{matrix} - (2 a x + b) = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x + b = - \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x = - \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b \Leftrightarrow \\ x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

Portanto,

$x = {\begin{matrix} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to r_{1} \\ \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to r_{2} \end{matrix} \Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Propriedades matemáticas

A partir da Fórmula de Bhaskara, desmembram-se diversas outras fórmulas. Delas, chega-se a certas conclusões que já visam previamente determinados fatores, como, por exemplo, o conjunto ao qual pertencerá as raízes, o número de raízes que cabem à x ou também a soma e a diferença das raízes da equação.

Delta

Dentro da Fórmula de Bhaskara, com o intuito de diminuir a equação e assim, facilitar estudos de matemáticos, comumente, chama-se o polinômio b² - 4ac da letra grega delta ( Δ ) ou também discriminante. A partir daí, tem-se:

Δ = b^{2} - 4 a c

Dessa forma, a Fórmula de Bhaskara pode ser escrita, resumidamente, da forma:

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

Se Δ>0 , a equação terá duas raízes reais distintas.
- Isto ocorre porque a fórmula de Bhaskara resolver-se-ia naturalmente, sem modificações e, sendo delta maior que zero, o valor de dentro de uma raiz será positivo, tornando-se, ineviltavelmente, um número real.
Se Δ=0 , a equação terá uma raíz dupla.
- Isto ocorre porque zero é um número que não é positivo e nem negativo. Ele também, em somas e subtrações não altera o valor. Logo, pode-se dizer que a equação apenas teria uma raíz, representada por (- b)/(2a)
Se Δ<0, a equação terá duas raízes complexas disintas.
- Verifica-se que, se delta for negativo, isto é, com valor inferior a zero, já que ele seria submetido à uma raiz quadrada, o universo que estuda a raiz quadrada dos números negativos é o dos complexos, tendo assim a equação, duas raizes complexas distintas.

Soma e Produto

A partir da Fórmula de Bhaskara acha-se a o resultado da soma S das duas raízes da equação e também sem produto P. Acha-se a soma realizando a real soma das duas raízes encontradas por Bhaskara:

$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- b - b - \sqrt{Δ} + \sqrt{Δ}}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- 2 b}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- b}{a}$ F´[ Acha-se o produto pelo mesmo processo:

$x = (\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}) \Leftrightarrow \frac{(- b + \sqrt{Δ}) (- b - \sqrt{Δ})}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{4 a c}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{c}{a}$

Assim, sendo $r_{1}$ e $r_{2}$ as raizes da equação quadrática:

$r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a} = S$

e

$r_{1} . r_{2} = \frac{c}{a} = P$

Deste jeito, munido dessas propriedades, pode-se avaliar as raízes em muitos casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Utilizando a forma de soma e produto da equação quadrática, é possivel chegar à forma fatorada da equação. Tendo em conta que:

$S = r_{1} + r_{2}$

e

$P = r_{1} \times r_{2}$

Pode-se afirmar que:

$a (x^{2} - S x + P) = 0 \Leftrightarrow a [x^{2} - (r_{1} + r_{2}) x + (r_{1} \times r_{2})] = 0 \Leftrightarrow a [(x - r_{1}) (x - r_{2})] = 0$

Logo,

$a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow a (x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0$

Esta é a forma fatorada da Equação quadrática.

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

$\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1} . r_{2}} = \frac{S}{P}$

Soma dos Quadrados das Raízes

$r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + 2 r_{1} . r_{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = S^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = S^{2} - 2 P$

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

$\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{r_{1}^{2} . r_{2}^{2}} = \frac{S^{2} - 2 P}{P^{2}}$

Soma dos Cubos das Raízes

$r_{1}^{3} + r_{2}^{3} = r_{1}^{3} + 3 r_{1}^{2} . r_{2} + 3 r_{1} . r_{2}^{2} + r_{2}^{3} - 3 r_{1}^{2} . r_{2} - 3 r_{1} . r_{2}^{2} = (r_{1} + r_{2})^{3} - 3 (r_{1} + r_{2}) (r_{1} . r_{2}) = S^{3} - 3 S . P$

Média Aritmética das Raízes

$\frac{r_{1} + r_{2}}{2} = \frac{S}{2}$

Média Geométrica das Raízes

$\sqrt{r_{1} . r_{2}} = \sqrt{P}$

Média Harmônica das Raízes

$\frac{1}{\frac{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}}{2}} = \frac{2}{\frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1} . r_{2}}} = \frac{2 r_{1} . r_{2}}{r_{1} + r_{2}} = \frac{2 P}{S}$

Domínio e imagem da função

O gráfico da função $f (x) = a x^{2} + b x + c$ será sempre uma parábola com vértice em:

$V = (\frac{- b}{2 a}, \frac{- Δ}{4 a})$

Resolução das equações incompletas

c=0

É uma equação no formato $a x^{2} + b x = 0$ . A solução é feita da seguinte forma: $a x^{2} + b x = 0 \Leftrightarrow x (a x + b) = 0$ . Portanto, $x = 0$ ou $a x + b = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$ . Nesse caso, uma das raízes será sempre zero e a outra será real (se os coeficientes o forem).

b=0

É uma equação no formato $a x^{2} + c = 0$ . A resolução é feita deste modo: $a x^{2} + c = 0 \Leftrightarrow a x^{2} = - c \Leftrightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \Leftrightarrow x = \sqrt{- \frac{c}{a}}$ . Por isso, $\frac{c}{a} < 0$ , ou a equação não terá raízes reais. No caso delas serem reais, as raízes serão simétricas.

Estudo do gráfico

Bibliografia

MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8