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Logaritmos

Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1

O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2.718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2) e é importante para a ciência da computação.

O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no início do século XVII a fim de simplificar os cálculos.8 Eles foram rapidamente adotados por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por tabelas de pesquisas ou por somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos logaritmos dos fatores:

log_b(xy) = log_b (x) + log_b (y), desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.

A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que os relacionou com a função exponencial no século XVIII. As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de elevada amplitude para grandezas menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da energia liberada e a amplitude. Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez e basicidade das substâncias. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas científicas, na teoria da complexidade computacional, em figuras geométricas chamadas fractais. Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que enumeram os números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia contábil.

No mesmo caminho, como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a função inversa da função exponencial aplicada nos números complexos. O logaritmo discreto é uma outra variável; ele é utilizado na criptografia assimétrica.

Um dos grandes problemas (nem tão grandes assim) ao se trabalhar com alunos de Ensino Médio é fazê-los entender a importância do estudo de logaritmos. Ele foi criado pelo escocês John Napier (1550-1617) e nada mais é que a operação inversa do estudo de funções e equações exponenciais.

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Irei através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Resolução: Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos: M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C * (1 + i)t 3500 = 500 * (1 + 0,035)t = 3500/500 = 1,035^t = 1,035^t = 7. Aplicando logaritmo, log 1,035t = log 7 = t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica) = t * 0,0149 = 0,8451 = t = 0,8451 / 0,0149 = t = 56,7. O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? População do ano-base = P0 População após um ano = P0 * (1,03) = P1 População após dois anos = P0 * (1,03)2 = P2 População após x anos = P0 * (1,03)x = Px Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos: Px = 2*P0 P0 * (1,03)x = 2 * P0 1,03x = 2 Aplicando logaritmo log 1,03x = log 2 x * log 1,03 = log2 x * 0,0128 = 0,3010 x = 0,3010 / 0,0128 x = 23,5 A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0 * e–r, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Q = Q0 * e–rt 200 = 1000 * e–0,02t 200/1000 = e–0,02t 1/5 = e–0,02t (aplicando definição) –0,02t = loge1/5 –0,02t = loge5–1 –0,02t = –loge5 –0,02t = –ln5 x(–1) 0,02t = ln5 t = ln5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Exemplo 4 - Cultura de Bacilos

O número de bacilos existentes numa determinada cultura, no instante t, é dado por N = N0 . 2 (t/k) em que N0 e k são constantes. As variáveis t e N estão expressas em horas e milhões de unidades, respectivamente. a) Interpreta o significado das constantes N0 e k. b) Qual a função que exprime, o número de horas que esta função leva a passar de N0 para N, em função de N? Resolução: a) No instante t = 0 vem N = N0.20 logo N = N0. Portanto, N0 é o número de bacilos existentes no início da contagem do tempo. Fazendo t = k vem N = N0.2 . Isto significa que k é o número de horas que decorrem até duplicar o número de bacilos. b) N / N0 = 2(t/k) <=> t / k = log2 (N / N0) <=> t = k log2 (N / N0) Vemos que a expressão de t, em função de N, envolve um logaritmo da variável independente, logo é uma função logarítmica.

Além disso, existem outras aplicações de logaritmos. elenco mais duas: o estudo dos TERREMOTOS na Geografia e o estudo do SOM e determinação de Decibéis, na Física.