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  Para os pitagóricos toda grandeza (comprimento, área, volume, ...) podia ser associada a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros. Admitiam que os números racionais eram suficientes para comparar segmentos de reta. A partir de dois segmentos quaisquer supunham que existia um segmento u que “cabia” um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro de vezes no outro. Nesse caso, os segmentos são comensuráveis. Em notação moderna, dizer que os dois segmentos AB e CD são comensuráveis significa dizer que existe um segmento u e dois naturais m e n tais que AB=nu e CD=mu. Num dado momento da história descobriu-se a existência de grandezas incomensuráveis. Esta descoberta marcou profundamente o desenvolvimento da matemática grega. Vitruvius (século I a.C), na sua obra Dez livros de arquitetura, o mais antigo texto sobre a história da matemática que chegou até os nossos tempos em sua versão original, atribui a Pitágoras e a seus discípulos a descoberta de grandezas incomensuráveis. Mais tarde Proclus (420-485 D.C) no prólogo do livro Os comentários sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides atribui também tal descoberta à escola pitágórica. Essa descoberta destruiu a crença de que o universo era governado por números inteiros. Alguns historiadores associam o aparecimento de grandezas incomensuráveis com a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em que a hipotenusa é a diagonal de um quadrado e os catetos são os lados do quadrado.

Aristóteles refere-se a uma demonstração onde se supõe que a diagonal e o lado são comensuráveis para se chegar num absurdo com a conclusão que um mesmo inteiro é par e ímpar. O raciocínio por absurdo que segue foi provavelmente concebido no meio da escola pitagórica. Vamos supor que o lado AB e a diagonal DB sejam segmentos comensuráveis. Logo existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB = mu e DB = nu. Portanto o segmento AB mede m e o segmento DB mede n. Pelo teorema de Pitágoras n² = m² + m², ou seja, n² = 2m². Portanto (n/m)²=2. Seja a/b uma fração irredutível tal que n/m=a/b. Como (a/b)²=2 então a²=2b². Portanto a² é par e conseqüentemente a é par. Como a/b é irredutível, b deve ser ímpar. Como a é par, existe um inteiro k tal que a=2k. Como a²=2b² então 4k²=2b². Logo b² é par. Conclui-se que b também é par. Absurdo pois b é ímpar.

         O artigo de K.von Fritz  A descoberta da incomensurabilidade por Hipasus de Metapontum introduziu uma nova dimensão ao problema. Ele desloca radicalmente a questão da incomensurabilidade para a divisão de um segmento em média e extrema razão. Von Fritz observa que apesar de Proclus atribuir a Pitágoras a descoberta dos incomensuráveis, todos os outros textos se referem a Hipasus de Metapontum nascido por volta de 500 a.C. Segundo ele essa descoberta pode ter sido feita por volta de 450 a.C e está relacionada com as faces pentagonais de um dodecaedro regular e com o pentagrama (emblema dos pitagóricos). Uma possibilidade de justificar que o lado do pentágono regular e o lado do pentagrama são incomensuráveis.

Vamos supor que o lado AE e a diagonal AD do pentágono regular ABCDE sejam comensuráveis. Logo existe um segmento u e inteiros positivos m e n tais que AE = mu e AD = nu com n > m pois AD é maior que AE. As diagonais do pentágono regular ABCDE determinam um novo pentágono regular A’B’C’D’E’.

Como AD - AE = B’E’com AD = nu e AE = mu então B’E’=(n-m)u. Como AE-B’E’=A’B’, conclui-se que A’B’= mu-(nu - mu)=(2m-n)u Logo se houver um segmento u que seja submúltiplo comum da diagonal AD e do lado AE do pentágono regular inicial então o mesmo segmento u será submúltiplo dos segmentos E’B’ e A’B’, ou seja, da diagonal e do lado do novo pentágono regular A’B’C’D’E’. O mesmo argumento que permitiu passar do pentágono inicial ABCDE ao pentágono A’B’C’D’E’ pode ser repetido para se chegar a um outro pentágono menor ainda. Após um número finito de repetições teremos um pentágono de lado an e diagonal dn comensuráveis com relação ao segmento u e com an < u, o que é uma contradição. Logo o lado e a diagonal do pentágono inicial são incomensuráveis.