Números Reais

Os Números Reais é o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:

Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}

Conjunto dos Números Reais

Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:

R = N U Z U Q U I ou R = Q U I

Onde:

R: Números Reais N: Números Naturais U: União Z: Números Inteiros Q: Números Racionais I: Números Irracionais

Ao observar a figura acima, podemos concluir que:

O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais(N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.

NÚMEROS IRRACIONAIS

Número irracional é um número real que não pode ser encontrado através da divisão de dois números inteiros, são números reais mas não racionais. Os números irracionais são diferentes dos racionais no sentido . O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo $\,\!\mathbb {I}$ .

Classificação dos irracionais

Existem dois tipos de números irracionais:

Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo ${\sqrt {2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {42}{5}}-{\sqrt[{5}]{7}}}}$ . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi( $\,\!\pi$ ) e o número de Euler ( $\,\!e$ ). Pode-se dizer que existemmais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.