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Exercícios resolvidos de Cálculo



Edwin. E. Moise. Cálculo, um curso universitário. Volume I.

Editora Edgard Blücher, Editora da Universidade de São Paulo.



PROBLEMAS 1.2


1. Mostre que se x2 = 0, então x = 0.


Por absurdo, suponha x 0. Assim, x tem inverso e (1/x)x2 = (1/x)0 ((1/x)x)x = 0 1x = 0 x = 0, que contradiz a suposição inicial x 0. Portanto, x = 0.

De outra forma, apenas recorrendo ao Teorema 1, é direto que se x2 = xx = 0, então x = 0.


2. Obviamente 1 e -1 são raízes da equação (x - 1)(x + 1) = 0. Mostre que nenhum outro número é raiz da mesma.


Pelo Teorema 1, se (x - 1)(x + 1) = 0, então x - 1 = 0 ou x + 1 = 0, donde, conforme a unicidade do oposto, há apenas um x que satisfaz a primeira e apenas um x que satisfaz a segunda, 1 e -1, respectivamente (adicione 1 a ambos os membros da primeira, e -1 a ambos os membros da segunda). Portanto, x = 1 e x = -1 são as únicas soluções da equação (x - 1)(x + 1) = 0.


3. Mostre que 2 e 3 são as únicas raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0.


x2 - 5x + 6 = 0

x2 - (2 + 3)x + 3.2 = 0

x2 - 2x - 3x + 3.2 = 0

x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 ou x - 3 = 0

x = 2 ou x = 3


4. Se 0 tivesse um inverso, então este número seria raíz da equação 0.x = 1. Mostre que esta equação não tem raíz.


Supondo 0x = 1 verdadeiro e usando o fato 0 = 1 + (-1), temos [1 + (-1)]x = 1 1x + (-1)x = 1 x + (-x) = 1, que contradiz o postulado da Existência de Opostos. Assim, 0x = 1 não tem raiz.


5. Se ab = ac, então b = c? Sim ou não? Por que?


Tome a = 0. Assim, 0b = 0c = 0, independentemente de b = c ou b c.


6. Se ab = ac e a 0, então b = c? Sim ou não? Por que?


Se a 0, então 1/a existe. Assim, (1/a)(ab) = (1/a)(ac) ((1/a)a)b = ((1/a)a)c 1b = 1c b = c.


7. Mostre que se abc = 0, então a = 0 ou b = 0 ou c = 0.


Pelo Teorema 1, se (ab)c = 0, então ab = 0 ou c = 0. Novamente pelo Teorema 1, se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. Portanto, a = 0 ou b = 0 ou c = 0.


8. Mostre que 1, 2 e 3 são as únicas raízes da equação x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0.


x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 x3 - 6(x2 - x + 1) + 5x = 0 x3 - 6((x2 - 2x + 1) + x) + 5x = 0

x3 - 6((x - 1)2 + x) + 5x = 0 x3 - 6(x - 1)2 - 6 x + 5x = 0 -6(x - 1)2 + x3 - x = 0

-6(x - 1)2 + x(x2 - 1) = 0 -6(x - 1)(x - 1) + x(x - 1)(x + 1) = 0 (x - 1)(-6(x - 1) + x(x + 1)) = 0

(x - 1)(-6x + 6 + x2 + x) = 0 (x - 1)(x2 - 6x + 9 - 3 + x) = 0 (x - 1)((x - 3)2 + x - 3) = 0

(x - 1)((x - 3)(x - 3) + (x - 3)) = 0 (x - 1)(x - 3)((x - 3) + 1) = 0 (x - 1)(x - 3)(x + (-3 + 1)) = 0

(x - 1)(x - 3)(x - 2) = 0 x - 1 = 0 ou x - 3 = 0 ou x - 2 = 0 x = 1 ou x = 3 ou x = 2.


9. Se a2 = b2, então a = b? Sim ou não? Por que?


Não, pois (-a)2 = a2 e (-b)2 = b2, de modo que não se pode concluir que a = b.


10. Se a2 = b2, que se pode concluir sobre a e b? Por que?


Como (-a)2 = a2 e (-b)2 = b2, tanto a = b quanto a = -b satisfazem a2 = b2. Assim, se a2 = b2, a = b ou a = -b.


De uma outra forma,

a2 = b2 a2 + (-b2) = b2 + (-b2) a2 - b2 = 0 (a2 - b2) + (ab + (-ab)) = 0 + 0

a2 + (-b2 + ab) + (-ab) = 0 (a2 + (-ab)) + (-bb + ba) = 0 (aa + a(-b)) + b(-b + a) = 0

a(a + (-b)) + b(-b + a) a(a - b) + b(a - b) = 0 (a + b)(a - b) = 0 a + b = 0 ou a - b = 0 a = -b ou a = b.


11. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que 1/x + 1/a = 1/(x + a)?


Primeiramente, observe que, se houverem, x e a devem ser tais que x 0, a 0 e x + a 0 (i.e., x -a). Além disso, x a, pois x = a conduz a 2 = 1/2, absurdo.

(x + a)(1/x + 1/a) = (x + a)(1/(x + a)) (x + a)(1/x) + (x + a)(1/a) = 1 (x + a)/x + (x + a)/a = 1

(ax)((x + a)/x + (x + a)/a) = (ax)1 (ax)((x + a)/x) + (ax)((x + a)/a) = ax (x(1/x))(a(x + a)) + (a(1/a))(x(x + a)) = ax

1(a(x + a)) + 1(x(x + a)) = ax a(x + a) + x(x + a) = ax (a + x)(x + a) = ax

(a + x)(a + x) = ax (a + x)2 = ax.

Portanto, (a + x)2 = ax é condição para que 1/x + 1/a = 1/(x + a). No entanto, é fácil verificar que não há reais x e a que satisfazem tal condição. De fato, (a + x)2 = x2 + 2ax + a2 = ax x2 + ax + a2 = 0 (x + (a/2))2 - a2/4 + a2 = 0
(x + (a/2))2 = (-3/4)a2, absurdo, pois, quaisquer que sejam os reais x 0 e a 0, (x + (a/2))2 > 0 e (-3/4)a2 < 0.


12. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que (a + b)2 = a2 + b2?


Bem, antes de tudo, temos que
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 = 2ab + a2 + b2.

Assim, (a + b)2 = a2 + b2 2ab + a2 + b2 = a2 + b2, e,

(2ab + a2 + b2) + (-(a2 + b2)) = (a2 + b2) + (-(a2 + b2)) 2ab + ((a2 + b2) + (-(a2 + b2)) = 0

2ab + 0 = 0 2ab = 0 (1/2)(2ab) = (1/2)0 ((1/2)2)ab = 0

1(ab) = 0 ab = 0 a = 0 ou b = 0.

Portanto, a = 0 ou b = 0 é condição para que (a + b)2 = a2 + b2.


13. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que (a + b)3 = a3 + b3?


Primeiramente, observe que
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(2ab + a2 + b2) = 2a2b + a3 + ab2 + 2ab2 + a2b + b3 = 3a2b + 3ab2 + a3 + b3.

Assim, (a + b)3 = a3 + b3 3a2b + 3ab2 + a3 + b3 = a3 + b3, e,

(3a2b + 3ab2 + a3 + b3) + (-(a3 + b3)) = (a3 + b3) + (-(a3 + b3)) 3a2b + 3ab2 + ((a3 + b3) + (-(a3 + b3))) = 0

3a2b + 3ab2 + 0 = 0 3(ab)(a + b) = 0 (1/3)(3(ab)(a + b)) = (1/3)0 ((1/3)3)((ab)(a + b)) = 0

1((ab)(a + b)) = 0 (ab)(a + b) = 0 ab = 0 ou a + b = 0 a = 0 ou b = 0 ou b = -a.

Portanto, a = 0 ou b = 0 ou b = -a é condição para (a + b)3 = a3 + b3.


*14. Considere o "sistema numérico" que possui apenas os elementos 0 e 1, com adição e multiplicação definidas nas seguintes tabelas:


+ 0 1
0 0 1
1 1 0


. 0 1
0 0 0
1 0 1


Quais dos postulados de corpo são verdadeiros neste sistema? E quais não são? (A resposta a essa questão sugere que os postulados de corpos não são, em si, uma descrição adequada do sistema numérico real.)


Observe que

0 + 1 = 1 + 0, e verifica-se que a adição é comutativa;

0 + 0 = 0 e 1 + 0 = 1, e verifica-se que a adição tem elemento neutro, o elemento 0;

0 + 0 = 0 e 1 + 1 = 0, e verifica-se que cada elemento do sistema tem oposto, o próprio elemento (0 é o oposto de 0 e 1 é o oposto de 1);

0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0, 0 + (1 + 0) = (0 + 1) + 0, 0 + (0 + 1) = (0 + 0) + 1, 1 + (0 + 0) = (1 + 0) + 0, 1 + (1 + 0) = (1 + 1) + 0 e 1 + (0 + 1) = (1 + 0) + 1, e verifica-se que a adição é associativa;

0.1 = 1.0, e verifica-se que a multiplicação é comutativa;

1.1 = 1 e 0.1 = 0, e verifica-se que a multiplicação tem elemento neutro, o elemento 1;

1.1 = 1, e verifica-se que todo elemento não-nulo do sistema tem inverso;

0.(0.0) = (0.0).0, 0.(1.0) = (0.1).0, 0.(0.1) = (0.0).1, 1.(0.0) = (1.0).0, 1.(1.0) = (1.1).0 e 1.(0.1) = (1.0).1, e verifica-se que a multiplicação é associativa;

0.(0 + 0) = 0.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0 = 0.0, 0.(0 + 1) = 0.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0 = 0.1, 0.(1 + 0) = 0.1 + 0.0 = 0 + 0 = 0 = 0.1, 0.(1 + 1) = 0.1 + 0.1 = 0 + 0 = 0 = 0.0, 1.(0 + 0) = 1.0 + 1.0 = 0 + 0 = 0 = 1.0, 1.(0 + 1) = 1.0 + 1.1 = 0 + 1 = 1 = 1.1, 1.(1 + 0) = 1.1 + 1.0 = 1 + 0 = 1 = 1.1, 1.(1 + 1) = 1.1 + 1.1 = 1 + 1 = 0 = 1.0, e verifica-se que a multiplicação é distributiva em relação a adição;

Assim, todos os postulados de corpo são verdadeiros no sistema.


*15. Considere o "sistema numérico" no qual os "números" são 0, 1, 2 e 3 com adição e multiplicação definidas nas seguintes tabelas:


+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2


. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1


Apenas um dos postulados de corpo não é verificado neste sistema. Ache-o. (Sugestão: Não perca tempo testando as leis associativa e distributiva; na realidade elas são verdadeiras neste sistema, embora as verificações sejam extremamente maçantes.)

Verifica-se o Teorema 1 neste sistema? Sim ou não? Por que?


O postulado da Existência de Inversos não é verificado. Repare na tabela de multiplicação que 2.0 = 0, 2.1 = 2, 2.2 = 0 e 2.3 = 2, i.e., nenhum elemento leva o 2 em 1, o elemento neutro da multiplicação. Assim, 2 não tem inverso.

Além disso, como 2.2 = 0, temos que o Teorema 1 não se verifica no sistema:

2a = 0 a = 0 ou a = 2.





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