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Exercícios resolvidos de Cálculo

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Edwin. E. Moise. Cálculo, um curso universitário. Volume I.

Editora Edgard Blücher, Editora da Universidade de São Paulo.

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PROBLEMAS 1.2

1. Mostre que se x² = 0, então x = 0.

Por absurdo, suponha x $\neq$ 0. Assim, x tem inverso e (1/x)x² = (1/x)0 $\Rightarrow$ ((1/x)x)x = 0 $\Rightarrow$ 1x = 0 $\Rightarrow$ x = 0, que contradiz a suposição inicial x $\neq$ 0. Portanto, x = 0.

De outra forma, apenas recorrendo ao Teorema 1, é direto que se x² = xx = 0, então x = 0.

2. Obviamente 1 e -1 são raízes da equação (x - 1)(x + 1) = 0. Mostre que nenhum outro número é raiz da mesma.

Pelo Teorema 1, se (x - 1)(x + 1) = 0, então x - 1 = 0 ou x + 1 = 0, donde, conforme a unicidade do oposto, há apenas um x que satisfaz a primeira e apenas um x que satisfaz a segunda, 1 e -1, respectivamente (adicione 1 a ambos os membros da primeira, e -1 a ambos os membros da segunda). Portanto, x = 1 e x = -1 são as únicas soluções da equação (x - 1)(x + 1) = 0.

3. Mostre que 2 e 3 são as únicas raízes da equação x² - 5x + 6 = 0.

x² - 5x + 6 = 0

$\Rightarrow$ x² - (2 + 3)x + 3.2 = 0

$\Rightarrow$ x² - 2x - 3x + 3.2 = 0

$\Rightarrow$ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

$\Rightarrow$ (x - 2)(x - 3) = 0

$\Rightarrow$ x - 2 = 0 ou x - 3 = 0

$\Rightarrow$ x = 2 ou x = 3

4. Se 0 tivesse um inverso, então este número seria raíz da equação 0.x = 1. Mostre que esta equação não tem raíz.

Supondo 0x = 1 verdadeiro e usando o fato 0 = 1 + (-1), temos [1 + (-1)]x = 1 $\Rightarrow$ 1x + (-1)x = 1 $\Rightarrow$ x + (-x) = 1, que contradiz o postulado da Existência de Opostos. Assim, 0x = 1 não tem raiz.

5. Se ab = ac, então b = c? Sim ou não? Por que?

Tome a = 0. Assim, 0b = 0c = 0, independentemente de b = c ou b $\neq$ c.

6. Se ab = ac e a $\neq$ 0, então b = c? Sim ou não? Por que?

Se a $\neq$ 0, então 1/a existe. Assim, (1/a)(ab) = (1/a)(ac) $\Rightarrow$ ((1/a)a)b = ((1/a)a)c $\Rightarrow$ 1b = 1c $\Rightarrow$ b = c.

7. Mostre que se abc = 0, então a = 0 ou b = 0 ou c = 0.

Pelo Teorema 1, se (ab)c = 0, então ab = 0 ou c = 0. Novamente pelo Teorema 1, se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. Portanto, a = 0 ou b = 0 ou c = 0.

8. Mostre que 1, 2 e 3 são as únicas raízes da equação x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 $\Rightarrow$ x³ - 6(x² - x + 1) + 5x = 0 $\Rightarrow$ x³ - 6((x² - 2x + 1) + x) + 5x = 0

$\Rightarrow$ x³ - 6((x - 1)² + x) + 5x = 0 $\Rightarrow$ x³ - 6(x - 1)² - 6 x + 5x = 0 $\Rightarrow$ -6(x - 1)² + x³ - x = 0

$\Rightarrow$ -6(x - 1)² + x(x² - 1) = 0 $\Rightarrow$ -6(x - 1)(x - 1) + x(x - 1)(x + 1) = 0 $\Rightarrow$ (x - 1)(-6(x - 1) + x(x + 1)) = 0

$\Rightarrow$ (x - 1)(-6x + 6 + x² + x) = 0 $\Rightarrow$ (x - 1)(x² - 6x + 9 - 3 + x) = 0 $\Rightarrow$ (x - 1)((x - 3)² + x - 3) = 0

$\Rightarrow$ (x - 1)((x - 3)(x - 3) + (x - 3)) = 0 $\Rightarrow$ (x - 1)(x - 3)((x - 3) + 1) = 0 $\Rightarrow$ (x - 1)(x - 3)(x + (-3 + 1)) = 0

$\Rightarrow$ (x - 1)(x - 3)(x - 2) = 0 $\Rightarrow$ x - 1 = 0 ou x - 3 = 0 ou x - 2 = 0 $\Rightarrow$ x = 1 ou x = 3 ou x = 2.

9. Se a² = b², então a = b? Sim ou não? Por que?

Não, pois (-a)² = a² e (-b)² = b², de modo que não se pode concluir que a = b.

10. Se a² = b², que se pode concluir sobre a e b? Por que?

Como (-a)² = a² e (-b)² = b², tanto a = b quanto a = -b satisfazem a² = b². Assim, se a² = b², a = b ou a = -b.

De uma outra forma,

a² = b² $\Rightarrow$ a² + (-b²) = b² + (-b²) $\Rightarrow$ a² - b² = 0 $\Rightarrow$ (a² - b²) + (ab + (-ab)) = 0 + 0

$\Rightarrow$ a² + (-b² + ab) + (-ab) = 0 $\Rightarrow$ (a² + (-ab)) + (-bb + ba) = 0 $\Rightarrow$ (aa + a(-b)) + b(-b + a) = 0

$\Rightarrow$ a(a + (-b)) + b(-b + a) $\Rightarrow$ a(a - b) + b(a - b) = 0 $\Rightarrow$ (a + b)(a - b) = 0 $\Rightarrow$ a + b = 0 ou a - b = 0 $\Rightarrow$ a = -b ou a = b.

11. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que 1/x + 1/a = 1/(x + a)?

Primeiramente, observe que, se houverem, x e a devem ser tais que x $\neq$ 0, a $\neq$ 0 e x + a $\neq$ 0 (i.e., x $\neq$ -a). Além disso, x $\neq$ a, pois x = a conduz a 2 = 1/2, absurdo.

(x + a)(1/x + 1/a) = (x + a)(1/(x + a)) $\Rightarrow$ (x + a)(1/x) + (x + a)(1/a) = 1 $\Rightarrow$ (x + a)/x + (x + a)/a = 1

$\Rightarrow$ (ax)((x + a)/x + (x + a)/a) = (ax)1 $\Rightarrow$ (ax)((x + a)/x) + (ax)((x + a)/a) = ax $\Rightarrow$ (x(1/x))(a(x + a)) + (a(1/a))(x(x + a)) = ax

$\Rightarrow$ 1(a(x + a)) + 1(x(x + a)) = ax $\Rightarrow$ a(x + a) + x(x + a) = ax $\Rightarrow$ (a + x)(x + a) = ax

$\Rightarrow$ (a + x)(a + x) = ax $\Rightarrow$ (a + x)² = ax.

Portanto, (a + x)² = ax é condição para que 1/x + 1/a = 1/(x + a). No entanto, é fácil verificar que não há reais x e a que satisfazem tal condição. De fato, (a + x)² = x² + 2ax + a² = ax $\Rightarrow$ x² + ax + a² = 0 $\Rightarrow$ (x + (a/2))² - a²/4 + a² = 0
$\Rightarrow$ (x + (a/2))² = (-3/4)a², absurdo, pois, quaisquer que sejam os reais x $\neq$ 0 e a $\neq$ 0, (x + (a/2))² > 0 e (-3/4)a² < 0.

12. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que (a + b)² = a² + b²?

Bem, antes de tudo, temos que
(a + b)² = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² = 2ab + a² + b².

Assim, (a + b)² = a² + b² $\Leftrightarrow$ 2ab + a² + b² = a² + b², e,

(2ab + a² + b²) + (-(a² + b²)) = (a² + b²) + (-(a² + b²)) $\Rightarrow$ 2ab + ((a² + b²) + (-(a² + b²)) = 0

$\Rightarrow$ 2ab + 0 = 0 $\Rightarrow$ 2ab = 0 $\Rightarrow$ (1/2)(2ab) = (1/2)0 $\Rightarrow$ ((1/2)2)ab = 0

$\Rightarrow$ 1(ab) = 0 $\Rightarrow$ ab = 0 $\Rightarrow$ a = 0 ou b = 0.

Portanto, a = 0 ou b = 0 é condição para que (a + b)² = a² + b².

13. Sob que condições (se existir alguma) é verdade que (a + b)³ = a³ + b³?

Primeiramente, observe que
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(2ab + a² + b²) = 2a²b + a³ + ab² + 2ab² + a²b + b³ = 3a²b + 3ab² + a³ + b³.

Assim, (a + b)³ = a³ + b³ $\Leftrightarrow$ 3a²b + 3ab² + a³ + b³ = a³ + b³, e,

(3a²b + 3ab² + a³ + b³) + (-(a³ + b³)) = (a³ + b³) + (-(a³ + b³)) $\Rightarrow$ 3a²b + 3ab² + ((a³ + b³) + (-(a³ + b³))) = 0

3a²b + 3ab² + 0 = 0 $\Rightarrow$ 3(ab)(a + b) = 0 $\Rightarrow$ (1/3)(3(ab)(a + b)) = (1/3)0 $\Rightarrow$ ((1/3)3)((ab)(a + b)) = 0

$\Rightarrow$ 1((ab)(a + b)) = 0 $\Rightarrow$ (ab)(a + b) = 0 $\Rightarrow$ ab = 0 ou a + b = 0 $\Rightarrow$ a = 0 ou b = 0 ou b = -a.

Portanto, a = 0 ou b = 0 ou b = -a é condição para (a + b)³ = a³ + b³.

*14. Considere o "sistema numérico" que possui apenas os elementos 0 e 1, com adição e multiplicação definidas nas seguintes tabelas:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

.	0	1
0	0	0
1	0	1

Quais dos postulados de corpo são verdadeiros neste sistema? E quais não são? (A resposta a essa questão sugere que os postulados de corpos não são, em si, uma descrição adequada do sistema numérico real.)

Observe que

0 + 1 = 1 + 0, e verifica-se que a adição é comutativa;

0 + 0 = 0 e 1 + 0 = 1, e verifica-se que a adição tem elemento neutro, o elemento 0;

0 + 0 = 0 e 1 + 1 = 0, e verifica-se que cada elemento do sistema tem oposto, o próprio elemento (0 é o oposto de 0 e 1 é o oposto de 1);

0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0, 0 + (1 + 0) = (0 + 1) + 0, 0 + (0 + 1) = (0 + 0) + 1, 1 + (0 + 0) = (1 + 0) + 0, 1 + (1 + 0) = (1 + 1) + 0 e 1 + (0 + 1) = (1 + 0) + 1, e verifica-se que a adição é associativa;

0.1 = 1.0, e verifica-se que a multiplicação é comutativa;

1.1 = 1 e 0.1 = 0, e verifica-se que a multiplicação tem elemento neutro, o elemento 1;

1.1 = 1, e verifica-se que todo elemento não-nulo do sistema tem inverso;

0.(0.0) = (0.0).0, 0.(1.0) = (0.1).0, 0.(0.1) = (0.0).1, 1.(0.0) = (1.0).0, 1.(1.0) = (1.1).0 e 1.(0.1) = (1.0).1, e verifica-se que a multiplicação é associativa;

0.(0 + 0) = 0.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0 = 0.0, 0.(0 + 1) = 0.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0 = 0.1, 0.(1 + 0) = 0.1 + 0.0 = 0 + 0 = 0 = 0.1, 0.(1 + 1) = 0.1 + 0.1 = 0 + 0 = 0 = 0.0, 1.(0 + 0) = 1.0 + 1.0 = 0 + 0 = 0 = 1.0, 1.(0 + 1) = 1.0 + 1.1 = 0 + 1 = 1 = 1.1, 1.(1 + 0) = 1.1 + 1.0 = 1 + 0 = 1 = 1.1, 1.(1 + 1) = 1.1 + 1.1 = 1 + 1 = 0 = 1.0, e verifica-se que a multiplicação é distributiva em relação a adição;

Assim, todos os postulados de corpo são verdadeiros no sistema.

*15. Considere o "sistema numérico" no qual os "números" são 0, 1, 2 e 3 com adição e multiplicação definidas nas seguintes tabelas:

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

.	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Apenas um dos postulados de corpo não é verificado neste sistema. Ache-o. (Sugestão: Não perca tempo testando as leis associativa e distributiva; na realidade elas são verdadeiras neste sistema, embora as verificações sejam extremamente maçantes.)

Verifica-se o Teorema 1 neste sistema? Sim ou não? Por que?

O postulado da Existência de Inversos não é verificado. Repare na tabela de multiplicação que 2.0 = 0, 2.1 = 2, 2.2 = 0 e 2.3 = 2, i.e., nenhum elemento leva o 2 em 1, o elemento neutro da multiplicação. Assim, 2 não tem inverso.

Além disso, como 2.2 = 0, temos que o Teorema 1 não se verifica no sistema:

2a = 0 $\Rightarrow$ a = 0 ou a = 2.

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