Problemas conceituais e filosóficos de uma nova mecânica: Bohr, Heisenberg e Einstein

Anotações para a produção de ensaio para a disciplina de Problemas conceituais e filosóficos de uma nova mecânica: Bohr, Heisenberg e Einstein do Programa de Pós Graduação em Educação Científica e Tecnológica.

Introdução

• Justificativa do interesse pelo tema(importância do tema): teletransporte e o problema da medida.
• Separar, recorte que vou realizar e com qual objetivo(intenção): Abordagem conceitual qualitativa, histórica e filosófica.
• Levar a análise.
• (considerações finais)Implicações para o ensino: Colocar em termos de perguntas, questionamentos: Essa reflexão nos levou a vários questionamentos que seriam de interesse particularmente do ensino. Uma série de perguntas que seria do interesse de pessoas/pesquisadores/professores em formação.

Justificativa

O teletransporte da informação sobre um vetor de estado quântico não é tarefa fácil mas a empreitada vale a pena pois nos ajuda a delimitar melhor conceitos como operação, medição, observação e também na compreensão sobre a falta de análogos imediatos para esses fenômenos que acontecem quando estamos trabalhando na escala quântica. As portas quânticas e a sua complexidade não serão aprofundadas aqui, vamos apenas demonstrar algumas nuances em sua aplicação. O enfoque será nas operações entre matrizes que representam as operações empíricas realizadas nos laboratórios e sobre as quais ainda não temos a menor ideia de como são realizadas. Para uma compreensão maior sobre essas operações empíricas precisaríamos de mais tempo e estudo.

Plano da obra

A seguir teremos algumas informações sobre notações corriqueiras e portas lógicas clássicas, isso tudo é para introduzir a linguagem necessária para a compreensão de como o emaranhamento e as operações com as portas lógicas nos qbits realizam/materializaram/configuram o teletransporte de informação de um vetor de estado.

Nesse processo é fundamental entender as operações $\operatorname {H} *{CNOT}$ e $\operatorname {CNOT} *H$

Teletransporte quântico

O teletransporte quântico é a transferência de um estado quântico à distância. É facilitado pelo emaranhamento entre A, o doador, e B, o receptor deste estado quântico. Este processo se tornou um tópico de pesquisa fundamental para comunicação e computação quântica. Mais recentemente, os cientistas têm testado as suas aplicações na transferência de informação através de fibras ópticas. O processo de teletransporte quântico é definido como o seguinte:

Alice e Bob compartilham um par EPR e cada um pegou um qubit antes de se separarem. Alice deve entregar um qubit de informações para Bob, mas ela não conhece o estado desse qubit e só pode enviar informações clássicas para Bob.

1. Alice envia seus qubits através de uma porta CNOT .
2. Alice então envia o primeiro qubit através de uma porta Hadamard .
3. Alice mede seus qubits, obtendo um dos quatro resultados, e envia essa informação para Bob.
4. Dadas as medições de Alice, Bob realiza uma das quatro operações em sua metade do par EPR e recupera o estado quântico original.

O seguinte circuito quântico descreve o teletransporte:

Circuito quântico para teletransportar um qubit

Notações matemáticas corriqueiras

Portas lógicas

Tipos

	Tipo	Símbolo (Norma ANSI)	Símbolo (Norma IEC)	Função booleana	Tabela verdade
	AND			$A\cdot B$	ENTRADA SAÍDA A B A AND B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
	OR			$A+B$	ENTRADA SAÍDA A B A OR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
	NOT			${\overline {A}}$	ENTRADA SAÍDA A NOT A 0 1 1 0
	NAND			${\overline {A\cdot B}}$	ENTRADA SAÍDA A B A NAND B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
	NOR			${\overline {A+B}}$	ENTRADA SAÍDA A B A NOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
	XOR			$A\oplus B$	ENTRADA SAÍDA A B A XOR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
	XNOR			${A\odot B}$	ENTRADA SAÍDA A B A XNOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Portas lógicas quânticas comuns descritas por nome (incluindo abreviação), forma de circuitos e a matriz unitária correspondente.

Computação quântica

$$|00\rangle :={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\quad |01\rangle :={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\quad |10\rangle :={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\quad |11\rangle :={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}.$$

Analogia clássica da porta Não controlada.

$$\operatorname {CNOT} :={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.$$

${\textstyle \operatorname {CNOT} |00\rangle =|00\rangle }$, ${\textstyle \operatorname {CNOT} |01\rangle =|01\rangle }$, ${\textstyle \operatorname {CNOT} |10\rangle =|11\rangle }$, and ${\textstyle \operatorname {CNOT} |11\rangle =|10\rangle }$

Como a porta não-controlado pode ser usada junto da porta Hadamard na computação.

Começando a partir de Nielsen

A base computacional

Um vetor qualquer pode ser escrito como${\textstyle {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}}$

Operador X

No histórico do desenvolvimento da teoria a porta lógica "Não" ficou conhecida, em sua forma de matrix, como X:

$$X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$$

Quando aplicamos X em um vetor qualquer do tipo ${\textstyle {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}}$ vamos obter:

$$X{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(0*\alpha )+(1*\beta )\\(1*\alpha )+(0*\beta )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta \\\alpha \end{bmatrix}}$$

Operador Z

$$Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$$

Aplicando Z no vetor ${\textstyle {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}}$:

$$Z{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1*\alpha )+(0*\beta )\\(0*\alpha )+(-1*\beta )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha \\-\beta \end{bmatrix}}$$

Definindo o operador Hadamard

Representação do operador Hadamard.

$$\operatorname {H} \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$$

Conhecida como "raíz quadrada de NÃO", transforma $|0\rangle$ em ${(|0\rangle +|1\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$, e transforma $|1\rangle$ em ${(|0\rangle -|1\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$

Realizando a aplicação de H em $|1\rangle$:

$$H{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}(1*0+1*1)\\(1*0-1*1)\end{bmatrix}}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$

A forma ${\textstyle {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$ pode ser reescrita como:

$${{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}} \over {\sqrt {2}}}={|0\rangle -|1\rangle \over {\sqrt {2}}}$$

Estados de Bell

Criação do par de Bell a partir de dois estados quânticos isolados, é assim que se emaranha dois estados quânticos.

Embora existam muitas maneiras possíveis de criar estados de Bell emaranhados através de circuitos quânticos, a mais simples toma uma base computacional como entrada e contém uma porta Hadamard e uma porta CNOT (ver imagem). Por exemplo, o circuito quântico ilustrado recebe a entrada de dois qubits $|00\rangle$ e o transforma no primeiro estado de Bell $|\Phi ^{+}\rangle .$ Explicitamente, o portão Hadamard transforma $|00\rangle$ em uma superposição de $(|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}$ . Isso atuará então como uma entrada de controle para a porta CNOT, que só inverte o alvo (o segundo qubit) quando o controle (o primeiro qubit) for 1. Assim, a porta CNOT transforma o segundo qubit da seguinte forma ${\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle$ .

Para as quatro entradas básicas de dois qubits, $|00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle$, o circuito gera os quatro estados de campainha ( listados acima ). Mais geralmente, o circuito transforma a entrada de acordo com a equação $$\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right)$$

As operações matriciais:

$\operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}$

Abrindo as equações:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {H} \otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}&1{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\\1{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}&-1{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}$

$\operatorname {C} NOT\operatorname {(} {\frac {1}{\sqrt {2}}}H\otimes I)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\end{bmatrix}}$

$\operatorname {C} NOT\operatorname {(} {\frac {1}{\sqrt {2}}}H\otimes I)|00\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$

$\operatorname {C} NOT\operatorname {(} {\frac {1}{\sqrt {2}}}H\otimes I)|00\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

Postulado da Medição

As medidas quânticas são descritas por operadores de medida {M$_{m}$}. São operadores que atuam sobre o espaço de estados do sistema. Os índices $m$ se referem aos possíveis resultados da medida. Se o estado de um sistema quântico for $|\psi \rangle$ imediatamente antes da medida, a probabilidade de um resultado $m$ ocorrer é dada por:

$$p(m)=\langle \psi |M_{m}^{\dagger }M_{m}|\psi \rangle$$ .

Compare o circuito de criação e o circuito do teletransporte

Circuito quântico para teletransportar um qubit ${\textstyle |\psi \rangle }$.

Criação do par de Bell a partir de dois estados quânticos isolados, é assim que se emaranha dois estados quânticos.

Compreendendo o teletransporte

Queremos enviar ${\textstyle |\psi \rangle }$, dado por:

$|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$

Nosso problema consiste então em:

${\textstyle |\psi _{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|\psi \rangle \otimes (|00\rangle +|11\rangle )}$

Abrindo a expressão:

${\textstyle |\psi _{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )\otimes (|00\rangle +|11\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\alpha |000\rangle +\alpha |011\rangle +\beta |100\rangle +\beta |111\rangle )}$

Aplicando o operador CNOT em ${\textstyle |\psi _{0}\rangle }$ no dois primeiros qubits para obter ${\textstyle |\psi _{1}\rangle }$:

${\textstyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\alpha |000\rangle +\alpha |011\rangle +\beta |110\rangle +\beta |101\rangle )}$

Aplicando o operador Hadamard no 1º qubit para obtermos ${\textstyle |\psi _{2}\rangle }$

${\textstyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{2}}(\alpha |000\rangle +\alpha |100\rangle +\alpha |011\rangle +\alpha |111\rangle +\beta |010\rangle -\beta |110\rangle -\beta |101\rangle )-\beta |001\rangle )}$

Ao evidenciarmos os dois primeiros qubtis de alice temos:

${\textstyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{2}}(|00\rangle (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )+|01\rangle (\alpha |1\rangle +\beta |0\rangle )+|10\rangle (\alpha |0\rangle -\beta |1\rangle )+|11\rangle (\alpha |1\rangle -\beta |0\rangle )}$

Agora fica evidente que dependendo da medida que Alice fizer em seus dois qubits o estado final do qubit de Bob está configurado. Essa medida de Alice vai configurar o ${\textstyle |\psi _{3}\rangle }$. Ela então precisará de um canal clássico para informar Bob dos resultados de suas medidas.

1. Ela mediu ${\textstyle |00\rangle }$ então ela informa Bob que ele está de posse do estado enviado.
2. Ela mediu ${\textstyle |01\rangle }$ então ela informa Bob que realize uma operação de negação do seu qubit, isto é, aplique um operador X.
3. Ela mediu ${\textstyle |10\rangle }$ então ela informa Bob que precisa apenas trocar o sinal da segunda parcela do qubit, isto é, aplicar um operador Z.
4. Ela mediu ${\textstyle |11\rangle }$ então ela informa Bob que precisa além de negar o qubit, também é necessário trocar o sinal da segunda parcela, ou seja, é necessário aplicar o operador X e depois o operador Z.

Assim é possível realizar o teletransporte de um estado de Alice para Bob e não estamos dependendo da distância entre eles. Ainda assim é necessário um canal clássico de comunicação para informar os resultados das medidas de forma a manipular o estado do qubit que recebe a informação.

Perguntas

1. Uma partícula só pode formar 1 Qbit?
2. Não entendo como a não localidade aparece no emaranhamento, como pode que eu interajo com um componente e a ação se dá no outro?