Problemas conceituais e filosóficos de uma nova mecânica: Bohr, Heisenberg e Einstein

Anotações para a produção de ensaio para a disciplina de Problemas conceituais e filosóficos de uma nova mecânica: Bohr, Heisenberg e Einstein do Programa de Pós Graduação em Educação Científica e Tecnológica.

Introdução

• Justificativa do interesse pelo tema(importância do tema): teletransporte e o problema da medida.
• Separar, recorte que vou realizar e com qual objetivo(intenção): Abordagem conceitual qualitativa, histórica e filosófica.
• Levar a análise.
• (considerações finais)Implicações para o ensino: Colocar em termos de perguntas, questionamentos: Essa reflexão nos levou a vários questionamentos que seriam de interesse particularmente do ensino. Uma série de perguntas que seria do interesse de pessoas/pesquisadores/professores em formação.

Justificativa

O teletransporte da informação sobre um vetor de estado quântico não é tarefa fácil mas a empreitada vale a pena pois nos ajuda a delimitar melhor conceitos como operação, medição, observação e também na compreensão sobre a falta de análogos imediatos para esses fenômenos que acontecem quando estamos trabalhando na escala quântica. As portas quânticas e a sua complexidade não serão aprofundadas aqui, vamos apenas demonstrar algumas nuances em sua aplicação. O enfoque será nas operações entre matrizes que representam as operações empíricas realizadas nos laboratórios e sobre as quais ainda não temos a menor ideia de como são realizadas. Para uma compreensão maior sobre essas operações empíricas precisaríamos de mais tempo e estudo.

Plano da obra

A seguir teremos algumas informações sobre notações corriqueiras e portas lógicas clássicas, isso tudo é para introduzir a linguagem necessária para a compreensão de como o emaranhamento e as operações com as portas lógicas nos qbits realizam/materializaram/configuram o teletransporte de informação de um vetor de estado.

Nesse processo é fundamental entender as operações $\mathrm{H}\ast CNOT$ e $\mathrm{CNOT}\ast H$

Teletransporte quântico

O teletransporte quântico é a transferência de um estado quântico à distância. É facilitado pelo emaranhamento entre A, o doador, e B, o receptor deste estado quântico. Este processo se tornou um tópico de pesquisa fundamental para comunicação e computação quântica. Mais recentemente, os cientistas têm testado as suas aplicações na transferência de informação através de fibras ópticas. O processo de teletransporte quântico é definido como o seguinte:

Alice e Bob compartilham um par EPR e cada um pegou um qubit antes de se separarem. Alice deve entregar um qubit de informações para Bob, mas ela não conhece o estado desse qubit e só pode enviar informações clássicas para Bob.

1. Alice envia seus qubits através de uma porta CNOT .
2. Alice então envia o primeiro qubit através de uma porta Hadamard .
3. Alice mede seus qubits, obtendo um dos quatro resultados, e envia essa informação para Bob.
4. Dadas as medições de Alice, Bob realiza uma das quatro operações em sua metade do par EPR e recupera o estado quântico original.

O seguinte circuito quântico descreve o teletransporte:

Circuito quântico para teletransportar um qubit

Notações matemáticas corriqueiras

Portas lógicas

Tipos

	Tipo	Símbolo (Norma ANSI)	Símbolo (Norma IEC)	Função booleana	Tabela verdade
	AND			$A\cdot B$	ENTRADA SAÍDA A B A AND B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
	OR			$A+B$	ENTRADA SAÍDA A B A OR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
	NOT			$\bar{A}$	ENTRADA SAÍDA A NOT A 0 1 1 0
	NAND			$\overline{A\cdot B}$	ENTRADA SAÍDA A B A NAND B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
	NOR			$\overline{A+B}$	ENTRADA SAÍDA A B A NOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
	XOR			$A\oplus B$	ENTRADA SAÍDA A B A XOR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
	XNOR			$A\odot B$	ENTRADA SAÍDA A B A XNOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Portas lógicas quânticas comuns descritas por nome (incluindo abreviação), forma de circuitos e a matriz unitária correspondente.

Computação quântica

$$|00⟩:=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right);|01⟩:=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right);|10⟩:=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right);|11⟩:=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

Analogia clássica da porta Não controlada.

$$\mathrm{CNOT}:=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

$\mathrm{CNOT}|00⟩=|00⟩$, $\mathrm{CNOT}|01⟩=|01⟩$, $\mathrm{CNOT}|10⟩=|11⟩$, and $\mathrm{CNOT}|11⟩=|10⟩$

Como a porta não-controlado pode ser usada junto da porta Hadamard na computação.

Começando a partir de Nielsen

A base computacional

Um vetor qualquer pode ser escrito como$\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$

Operador X

No histórico do desenvolvimento da teoria a porta lógica "Não" ficou conhecida, em sua forma de matrix, como X:

$$X\equiv \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

Quando aplicamos X em um vetor qualquer do tipo $\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$ vamos obter:

$$X\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(0\ast \alpha )+(1\ast \beta )\\ (1\ast \alpha )+(0\ast \beta )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\beta \\ \alpha \end{array}\right]$$

Operador Z

$$Z\equiv \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

Aplicando Z no vetor $\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$:

$$Z\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(1\ast \alpha )+(0\ast \beta )\\ (0\ast \alpha )+(-1\ast \beta )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ -\beta \end{array}\right]$$

Definindo o operador Hadamard

Representação do operador Hadamard.

$$\mathrm{H}\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

Conhecida como "raíz quadrada de NÃO", transforma $|0⟩$ em $\frac{(|0⟩+|1⟩)}{\sqrt{2}}$, e transforma $|1⟩$ em $\frac{(|0⟩-|1⟩)}{\sqrt{2}}$

Realizando a aplicação de H em $|1⟩$:

$$H\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}(1\ast 0+1\ast 1)\\ (1\ast 0-1\ast 1)\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$

A forma $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ pode ser reescrita como:

$$\frac{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]}{\sqrt{2}}=\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}$$

Estados de Bell

Criação do par de Bell a partir de dois estados quânticos isolados, é assim que se emaranha dois estados quânticos.

Embora existam muitas maneiras possíveis de criar estados de Bell emaranhados através de circuitos quânticos, a mais simples toma uma base computacional como entrada e contém uma porta Hadamard e uma porta CNOT (ver imagem). Por exemplo, o circuito quântico ilustrado recebe a entrada de dois qubits $|00⟩$ e o transforma no primeiro estado de Bell $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩.$ Explicitamente, o portão Hadamard transforma $|00⟩$ em uma superposição de $\frac{(|0⟩|0⟩+|1⟩|0⟩)}{\sqrt{2}}$ . Isso atuará então como uma entrada de controle para a porta CNOT, que só inverte o alvo (o segundo qubit) quando o controle (o primeiro qubit) for 1. Assim, a porta CNOT transforma o segundo qubit da seguinte forma $\frac{(|00⟩+|11⟩)}{\sqrt{2}}=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$ .

Para as quatro entradas básicas de dois qubits, $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$, o circuito gera os quatro estados de campainha ( listados acima ). Mais geralmente, o circuito transforma a entrada de acordo com a equação $$\beta (x,y)⟩=\left(\frac{|0,y⟩+(-1{)}^x|1,\overline{y}⟩}{\sqrt{2}}\right)$$

As operações matriciais:

$\mathrm{CNOT}(H\otimes I)|00⟩=\left(\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right](\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])\right)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$

Abrindo as equações:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{H}\otimes I=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& 1\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ 1\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& -1\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right]$

$\mathrm{C}NOT\mathrm{(}\frac{1}{\sqrt{2}}H\otimes I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& 0& -1& 0\end{array}\right]$

$\mathrm{C}NOT\mathrm{(}\frac{1}{\sqrt{2}}H\otimes I)|00⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\mathrm{C}NOT\mathrm{(}\frac{1}{\sqrt{2}}H\otimes I)|00⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$

Postulado da Medição

As medidas quânticas são descritas por operadores de medida {M${}_m$}. São operadores que atuam sobre o espaço de estados do sistema. Os índices $m$ se referem aos possíveis resultados da medida. Se o estado de um sistema quântico for $|\psi ⟩$ imediatamente antes da medida, a probabilidade de um resultado $m$ ocorrer é dada por:

$$p(m)=⟨\psi |M_m^{†}{M}_m|\psi ⟩$$ .

Compare o circuito de criação e o circuito do teletransporte

Circuito quântico para teletransportar um qubit $|\psi ⟩$.

Criação do par de Bell a partir de dois estados quânticos isolados, é assim que se emaranha dois estados quânticos.

Compreendendo o teletransporte

Queremos enviar $|\psi ⟩$, dado por:

$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$

Nosso problema consiste então em:

$|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|\psi ⟩\otimes (|00⟩+|11⟩)$

Abrindo a expressão:

$|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)\otimes (|00⟩+|11⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |000⟩+\alpha |011⟩+\beta |100⟩+\beta |111⟩)$

Aplicando o operador CNOT em $|{\psi }_0⟩$ no dois primeiros qubits para obter $|{\psi }_1⟩$:

$|{\psi }_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |000⟩+\alpha |011⟩+\beta |110⟩+\beta |101⟩)$

Aplicando o operador Hadamard no 1º qubit para obtermos $|{\psi }_2⟩$

$|{\psi }_2⟩=\frac{1}{2}(\alpha |000⟩+\alpha |100⟩+\alpha |011⟩+\alpha |111⟩+\beta |010⟩-\beta |110⟩-\beta |101⟩)-\beta |001⟩)$

Ao evidenciarmos os dois primeiros qubtis de alice temos:

$|{\psi }_2⟩=\frac{1}{2}(|00⟩(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)+|01⟩(\alpha |1⟩+\beta |0⟩)+|10⟩(\alpha |0⟩-\beta |1⟩)+|11⟩(\alpha |1⟩-\beta |0⟩)$

Agora fica evidente que dependendo da medida que Alice fizer em seus dois qubits o estado final do qubit de Bob está configurado. Essa medida de Alice vai configurar o $|{\psi }_3⟩$. Ela então precisará de um canal clássico para informar Bob dos resultados de suas medidas.

1. Ela mediu $|00⟩$ então ela informa Bob que ele está de posse do estado enviado.
2. Ela mediu $|01⟩$ então ela informa Bob que realize uma operação de negação do seu qubit, isto é, aplique um operador X.
3. Ela mediu $|10⟩$ então ela informa Bob que precisa apenas trocar o sinal da segunda parcela do qubit, isto é, aplicar um operador Z.
4. Ela mediu $|11⟩$ então ela informa Bob que precisa além de negar o qubit, também é necessário trocar o sinal da segunda parcela, ou seja, é necessário aplicar o operador X e depois o operador Z.

Assim é possível realizar o teletransporte de um estado de Alice para Bob e não estamos dependendo da distância entre eles. Ainda assim é necessário um canal clássico de comunicação para informar os resultados das medidas de forma a manipular o estado do qubit que recebe a informação.

Perguntas

1. Uma partícula só pode formar 1 Qbit?
2. Não entendo como a não localidade aparece no emaranhamento, como pode que eu interajo com um componente e a ação se dá no outro?