Processos Estocásticos

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Introdução[editar | editar código-fonte]

Imagine um bêbado, que após muito caminhar consegue enxergar sua casa. Supondo que o caminho esteja desimpedido, o instinto o levará a tentar caminhar em linha reta; A questão é que a bebida não permite. Se traçarmos um sistema cartesiano de modo que o bêbado esteja na origem e a casa em algum ponto do eixo das ordenadas, o bêbado é uma partícula caminhando para cima, pois a linha reta é o caminho mais curto; porém, o vetor deslocamento não coincide com o vetor , pois o bêbado cambaleia para a direita ou esquerda aleatoriamente, fazendo com que a posição no bêbado no instante seja , supondo velocidade constante no eixo das ordenadas, onde é um valor aleatório.

A sequência de valores e suas variáveis aleatórias associadas recebem o nome de cadeia, um caso especial de processo estocástico. Tipicamente, estudamos apenas sistemas markovianos, sistemas onde

onde é a probabilidade do evento ocorrer dado que o evento ocorreu e são as posições anteriores do bêbado. Esta relação de probabilidades quer dizer que a única informação que pode nos ajudar a prever onde o bêbado estará no próximo instante de tempo é a posição do bêbado no momento atual, sendo que a trajetória anterior, velocidade resultante, etc... não nos fornecem nenhuma informação extra.

Em muitas análises físicas estudamos sistemas complexos de um ponto de vista macroscópico, por exemplo, o movimento browniano é definido pela temperatura de cada patícula do sistema, mas não temos como mensurar tal temperatura. Sob suposições gerais, tais sistemas comportam-se como nosso bêbado do exemplo acima; podemos estimar apenas a probabilidade de mudança de estado do sistema.

Objetivo e Pré-Requisitos[editar | editar código-fonte]

O principal lucro do estudo formal de Processos Estocásticos é a aquisição de um liguajar universal para a descrição de problemas envolvendo probabilidade e este é o objetivo deste curso, mas para formalizar apropriadamente os conceitos noções de probabilidade (tanto baseada em Teoria da Medida quanto em Combinatória) são estritamente necessárias.

Definição Matemática Formal[editar | editar código-fonte]

Um processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo com uma estrutura de correlação bem definida. Em outros pontos de vista, um processo estocástico é uma sequência de funções mensuráveis, ou seja, uma variável aleatória definida num espaço de probabilidade que toma valores num espaço de funções .

Um caso notável são as cadeias, sequências de variáveis aleatórias com o tempo sendo considerado discreto.
A completar.

Cadeias de Markov[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Passeio Aleatório[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Movimento Browniano[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Cadeia de Ehrenfest e o Sistema de Gases de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Quando Boltzmann sugeriu seu modelo de gases Poincaré retrucou dizendo que neste modelo, após um tempo suficientemente grande, uma configuração inicial volta arbitrariamente próximo à configuração inicial. O modelo da Urna de Ehrenfest serviu para estimar o tempo gasto para que a configuração voltasse à configuração inicial, e foi possível concluir que demoraria mais do que a idade do universo, e portanto o modelo de Boltzmann foi aceito.

Considere que você tem duas urnas, uma contendo bolas e a outra contendo bolas. A idéia é a seguinte: Fixe uma urna. Considere uma configuração inicial , e considere variáveis aleatórias i.i.d. , de tal forma que é uma uniforme discreta no conjunto

Agora considere como sendo: , se e , se .

De fato, vai dizer a quantidade de bolas que tem em cada urna. é claramente uma variável aleatória. Agora precisamos saber em quais -álgebras estamos trabalhando. Então podemos dizer que , e que .

Exercício 1: Mostre que é mensurável com relação a .

Exercício 2: Mostre que é um processo de markov e escreva quem é seu núcleo (neste caso o processo é homogêneo), i.e., mostre que

e descubra a função tal que

.
A formatar/completar.

Ruína do Jogador[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Autômatos Celulares[editar | editar código-fonte]

Um autômato é uma máquina que recebe dados sob a forma de uma cadeia finita de símbolos de um alfabeto; Inicialmente, ele está numa configuração ou estado qualquer, e a cada símbolo lido ele muda de estada segundo uma regra determinística pré-fixada. Um exemplo de nenhuma utilidade mas que ilustra o que queremos dizer com estado é o seguinte: Temos um pequeno relógio, que inicialmente tem os dois ponteiros apontados para cima. O relógio recebe através de uma fita em sua parte superior símbolos pertencentes ao alfabeto . Quando recebe o símbolo , o ponteiro pequeno anda uma casa para esquerda, representando uma mudança de estado. Quando recebe o símbolo , o ponteiro grande anda uma casa para a direita, representando uma outra mudança de estado. O conjunto de todos os possíveis estados é o conjunto de todas as possíveis combinações de posições do ponteiro pequeno e no ponteiro grande. Autômatos são ditos finitos se seu espaço de estado é finito. No caso do relógio acima, temos um autômato com estados, pois cada possível configuração dos ponteiros é um estado.

Imagine agora um conjunto de autômatos arranjados de forma que podemos definir a vizinhança de um autômato, ou seja, dado um autômato qualquer temos um conjunto bem-definido de vizinhos para ele; Em cada instante de tempo, o input de cada autômato é o conjunto de estados de seus vizinhos. Este conjunto de autômatos e sua regra de vizinhança é chamado de autômato celular.

Físicos mais tradicionais vão reconhecer autômatos como variações do Modelo de Ising.

A completar.

Exemplo de Autômato Celular: Jogo da Vida de Conway[editar | editar código-fonte]

Este exemplo é tradicional em todo curso onde se utilizam autômatos celulares, mas atualmente sua relevância resume-se a exercícios de programação.

No jogo da vida, temos uma grade de células quadradas se estendendo infinitamente em cada direção. Cada célula representa um ser, que pode estar vivo ou morto, e dizemos que a célula a é vizinha da célula b se existe um vértice que pertence tanto a a quanto a b. Se em um instante de tempo uma célula (ou a entidade que ela representa) está viva, três coisas podem ocorrer:

  • Se menos de dois vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre
  • Se mais de três vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre sufocada
  • Caso contrário, a célula permanece viva

Se em um instante de tempo uma célula está morta, três coisas podem ocorrer:

  • Se exatamente três vizinhos estão vivos, ela se torna viva no próximo instante de tempo
  • Caso contrário, a célula permanece morta

A completar.

Autômatos Celulares com Ruído Aleatório[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Autômatos Celulares Probabilísticos[editar | editar código-fonte]

A fazer.

Inferência em Processos Estocásticos[editar | editar código-fonte]

A fazer.