Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) ou sequência aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r$. O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.

Uma parte finita de uma progressão aritmética é chamada uma progressão aritmética finita ou apenas progressão aritmética. A soma de uma progressão aritmética finita é chamada uma série aritmética finita.

Definição

Notamos que, de modo geral, uma sequência numérica ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n})}}}=(\ldots ,~a_{1},~a_{2},~a_{3},~a_{4},~\ldots ,~a_{n-2},~a_{n-1},~a_{n},~\ldots )$ é uma P.A. quando definida recursivamente por:

$\qquad \ldots$

$\qquad a_{2}=a_{1}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{2}-a_{1}$

$\qquad a_{3}=a_{2}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{3}-a_{2}$

$\qquad a_{4}=a_{3}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{4}-a_{3}$

$\qquad \ldots$

$\qquad a_{n-2}=a_{n-3}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{n-2}-a_{n-3}$

$\qquad a_{n-1}=a_{n-2}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{n-1}-a_{n-2}$

$\qquad a_{n}=a_{n-1}+r\quad \Rightarrow \quad r=a_{n}-a_{n-1}$

$\qquad \ldots$

Comparando, temos:

$$r=\ldots =a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=\ldots =a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n}-a_{n-1}=\ldots$$

onde

• $a_{n}$ é o n-ésino termo da sequência $(a_{n})$
• $n$ corresponde ao número de termos $-$ até $a_{n}$
• o primeiro termo, $a_{1}$ é um número dado
• o número $r$ é chamado de razão da progressão aritmética

Exemplos

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo $a_{1}$ é igual a $1$ e a razão $r$ é igual a $3$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$ é uma P.A. em que $a_{1}=-2$ e $r=-2$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$ é uma P.A. com $a_{1}=6$ e $r=0$

Fórmulas para $a_{n}$, $a_{n-p}$, $a_{n+p}$

$a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r$

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_{n}$, pode ser obtido por meio da fórmula:

$$a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r$$

portanto uma sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n})}}}$ também pode ser expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r)}}={\underset {n~\in ~Range}{(a_{m}+(n-m)\cdot r)}}$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$

ou pela fórmula:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

de forma semelhante, uma sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n})}}}$ também pode ser expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r)}}={\underset {n~\in ~Range}{(a_{1}+(n-1)\cdot r)}}$

em que:

• $a_{n}$ é o n-ésimo termo da sequência $(a_{n})$
• $n$ é o número de termos $-$ até $a_{n}$
• $a_{1}$ é o primeiro termo
• $r$ é a razão

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}={\overset {m~=~1\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=1+(n-1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=1+3n-3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=3n-2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n-2)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}={\overset {m~=~3\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{3}+(n-3)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=-6+(n-3)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=-6-2n+6)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=-2n)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n})}}}={\overset {m~=~5\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n}=a_{5}+(n-5)\cdot 0)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r$

Outras fórmulas para P.A. são:

$$a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r$$

onde a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-p})}}}$ pode ser expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r)}}$

Exemplos

• ${\overset {p~=~1\quad r~=~3}{\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~1\quad r~=~3}{\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-1}=a_{2}+(n-2-1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-1}=4+(n-3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-1}=4+3n-9)}}={\underset {n~=~2:1:\infty }{(a_{n-1}=3n-5)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {p~=~5\quad r~=~-2}{\underset {n~=~6:1:\infty }{(a_{n-p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~5\quad r~=~-2}{\underset {n~=~6:1:\infty }{(a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~6:1:\infty }{(a_{n-5}=a_{4}+(n-4-5)\cdot -2)}}={\underset {n~=~6:1:\infty }{(a_{n-5}=-8+(n-9)\cdot -2)}}={\underset {n~=~6:1:\infty }{(a_{n-5}=-8-2n+18)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n-5}=-2n+10)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {p~=~6\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n-p})}}}={\overset {m~=~9\quad p~=~6\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n-6}=a_{9}+(n-9-6)\cdot 0)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r$

$$a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}$

Exemplos

• ${\overset {p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+3}=a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+3}=4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+3}=4+3n+3)}}={\underset {n~=~-2:1:\infty }{(a_{n+3}=3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+2}=a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+2}=-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+2}=-6-2n+2)}}={\underset {n~=~-1:1:\infty }{(a_{n+2}=-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1}=a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r$

$$a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-s}-(p-s)\cdot r)}}$

Exemplos

• ${\overset {p~=~4\quad s~=~7\quad r~=~3}{\underset {n~=~5:1:\infty }{(a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r)}}}={\underset {n~=~5:1:\infty }{(a_{n-4}=a_{n-7}-(4-7)\cdot 3)}}={\underset {n~=~5:1:\infty }{(a_{n-4}=a_{n-7}-(-3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~5:1:\infty }{(a_{n-4}=a_{n-7}+9)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$

$$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-q}+(p+q)r)}}$

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+3n+3)}}={\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+3})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$

$$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+q}-(p+q)r)}}$

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+3n+3)}}={\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+3})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$

$$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+q}+(p-q)r)}}$

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+3n+3)}}={\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+3})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n-p}=a_{n}-pr$

$$a_{n-p}=a_{n}-pr$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n-p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n}-pr)}}$

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+3n+3)}}={\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+3})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

$a_{n+p}=a_{n}+pr$

$$a_{n+p}=a_{n}+pr$$

em que a sequência ${\overset {r}{\underset {n~\in ~Range}{(a_{n+p})}}}$ é expressa por ${\underset {n~\in ~Range}{(a_{n}+pr)}}$

Exemplos

• ${\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~2\quad p~=~3\quad r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{2}+(n-2+3)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+(n+1)\cdot 3)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(4+3n+3)}}={\overset {r~=~3}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+3})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(3n+7)}}=(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~3\quad p~=~2\quad r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{3}+(n-3+2)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6+(n-1)\cdot -2)}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-6-2n+2)}}={\overset {r~=~-2}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+2})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(-2n-4)}}=(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$

• ${\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+p})}}}={\overset {m~=~4\quad p~=~1\quad r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{m}+(n-m+p)\cdot r)}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{4}+(n-4+1)\cdot 0)}}={\overset {r~=~0}{\underset {n~=~1:1:\infty }{(a_{n+1})}}}={\underset {n~=~1:1:\infty }{(6)}}=(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$

Demonstrações para $a_{n}$, $a_{n-p}$, $a_{n+p}$

$a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r$

Tomando como referência índices quaisquer, por exemplo 2 e 3:

$\qquad (\ldots ,\quad \underbrace {a_{2}-4r} _{a_{-2}},\quad \underbrace {a_{2}-3r} _{a_{-1}},\quad \underbrace {a_{2}-2r} _{a_{0}},\quad \underbrace {a_{2}-r} _{a_{1}},\quad a_{2},\quad \underbrace {a_{2}+r} _{a_{3}},\quad \underbrace {a_{2}+2r} _{a_{4}},\quad \underbrace {a_{2}+3r} _{a_{5}},\quad \ldots ,\quad \underbrace {a_{2}+(n-4)\cdot r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{2}+(n-3)\cdot r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{2}+(n-2)\cdot r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{2}+(n-1)\cdot r} _{a_{n+1}},\quad \underbrace {a_{2}+(n-0)\cdot r} _{a_{n+2}},\quad \ldots )$

$\qquad (\ldots ,\quad \underbrace {a_{3}-5r} _{a_{-2}},\quad \underbrace {a_{3}-4r} _{a_{-1}},\quad \underbrace {a_{3}-3r} _{a_{0}},\quad \underbrace {a_{3}-2r} _{a_{1}},\quad \underbrace {a_{3}-r} _{a_{2}},\quad a_{3},\quad \underbrace {a_{3}+r} _{a_{4}},\quad \underbrace {a_{3}+2r} _{a_{5}},\quad \underbrace {a_{3}+3r} _{a_{6}},\quad \ldots ,\quad \underbrace {a_{3}+(n-5)\cdot r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{3}+(n-4)\cdot r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{3}+(n-3)\cdot r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{3}+(n-2)\cdot r} _{a_{n+1}},\quad \underbrace {a_{3}+(n-1)\cdot r} _{a_{n+2}},\quad \ldots )$

observe que qualquer que seja o índice tomado como referência, são sempre válidas e dedutíveis as fórmulas:

$$a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r$$

ao passar de $a_{m}$ para $a_{n}$, avançamos $(n-m)$ termos, ou seja, basta somar $(n-m)$ vezes a razão ao $m$º termo

Note que:

• $a_{9}=a_{4}+5r$, pois, ao passar de $a_{4}$ para $a_{9}$, avançamos $5$ termos
• $a_{3}=a_{15}-12r$, pois retrocedemos 12 termos ao passar de $a_{15}$ para $a_{3}$

$$a_{n-p}=a_{m}+(n-(m+p))\cdot r$$

$$a_{n-p}=a_{m}+(n-m-p)\cdot r$$

$$a_{n+p}=a_{m}+(n-(m-p))\cdot r$$

$$a_{n+p}=a_{m}+(n-m+p)\cdot r$$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$

Podemos escrever uma Progressão Aritmética, tomando como referência o $1$º índice:

$\qquad (\ldots ,\quad \underbrace {a_{1}-3r} _{a_{-2}},\quad \underbrace {a_{1}-2r} _{a_{-1}},\quad \underbrace {a_{1}-r} _{a_{0}},\quad a_{1},\quad \underbrace {a_{1}+r} _{a_{2}},\quad \underbrace {a_{1}+2r} _{a_{3}},\quad \underbrace {a_{1}+3r} _{a_{4}},\quad \ldots ,\quad \underbrace {a_{1}+(n-3)\cdot r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{1}+(n-2)\cdot r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{1}+(n-1)\cdot r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{1}+(n-0)\cdot r} _{a_{n+1}},\quad \underbrace {a_{1}+(n+1)\cdot r} _{a_{n+2}},\quad \ldots )$

assim obtendo a fórmula para P.A. com referência no $1$º índice:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

ao passar de $a_{1}$ para $a_{n}$, avançamos $(n-1)$ termos, ou seja, basta somar $(n-1)$ vezes a razão ao $1$º termo.

$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$

Com os índices $n-1$ e $n-2$ como referência:

$$(\ldots ,\quad \underbrace {a_{n-1}-4r} _{a_{n-5}},\quad \underbrace {a_{n-1}-3r} _{a_{n-4}},\quad \underbrace {a_{n-1}-2r} _{a_{n-3}},\quad \underbrace {a_{n-1}-r} _{a_{n-2}},\quad a_{n-1},\quad \underbrace {a_{n-1}+r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{n-1}+2r} _{a_{n+1}},\quad \underbrace {a_{n-1}+3r} _{a_{n+2}},\quad \ldots )$$

$$(\ldots ,\quad \underbrace {a_{n-2}-4r} _{a_{n-6}},\quad \underbrace {a_{n-2}-3r} _{a_{n-5}},\quad \underbrace {a_{n-2}-2r} _{a_{n-4}},\quad \underbrace {a_{n-2}-r} _{a_{n-3}},\quad a_{n-2},\quad \underbrace {a_{n-2}+r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{n-2}+2r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{n-2}+3r} _{a_{n+1}},\quad \ldots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_{n-q}-(p-q)r$$

$$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$$

$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$

Com os índices $n+1$ e $n+2$ como referência:

$$(\ldots ,\quad \underbrace {a_{n+1}-4r} _{a_{n-3}},\quad \underbrace {a_{n+1}-3r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{n+1}-2r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{n+1}-r} _{a_{n}},\quad a_{n+1},\quad \underbrace {a_{n+1}+r} _{a_{n+2}},\quad \underbrace {a_{n+1}+2r} _{a_{n+3}},\quad \underbrace {a_{n+1}+3r} _{a_{n+4}},\quad \ldots )$$

$$(\ldots ,\quad \underbrace {a_{n+2}-4r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{n+2}-3r} _{a_{n-1}},\quad \underbrace {a_{n+2}-2r} _{a_{n}},\quad \underbrace {a_{n+2}-r} _{a_{n+1}},\quad a_{n+2},\quad \underbrace {a_{n+2}+r} _{a_{n+3}},\quad \underbrace {a_{n+2}+2r} _{a_{n+4}},\quad \underbrace {a_{n+2}+3r} _{a_{n+5}},\quad \ldots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$$

$$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$$

$a_{n+p}=a_{n}+pr$

Com o índice $n$ como referência:

$$(\ldots ,\quad \underbrace {a_{n}-3r} _{a_{n-3}},\quad \underbrace {a_{n}-2r} _{a_{n-2}},\quad \underbrace {a_{n}-r} _{a_{n-1}},\quad a_{n},\quad \underbrace {a_{n}+r} _{a_{n+1}},\quad \underbrace {a_{n}+2r} _{a_{n+2}},\quad \underbrace {a_{n}+3r} _{a_{n+3}},\quad \ldots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_{n}-pr$$

$$a_{n+p}=a_{n}+pr$$

Demonstração por indução matemática

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

• Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa $r$ e portanto $a_{2}=a_{1}+1\cdot r$

• Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n-1$, ou seja, que $a_{n-1}=a_{1}+(n-2)\cdot r$, resulta que o n-ésimo termo é dado por

$$\qquad a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)\cdot r)+r=a_{1}+(n-2+1)\cdot r=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Representação por função

Qualquer P.A. pode ser expressa sob a forma de uma função de 1º grau:

$${\underset {x~\in ~Range}{f(x)}}=ax+b$$