Solução de Sistemas Lineares

Diversos problemas nas áreas exatas podem ser resolvidos através da solução de sistemas lineares. Dentro desse contexto de sistemas lineares existem diferentes formas de chegar a uma solução, por exemplo na análise de propagação dos erros de arredondamento, onde pode ser utilizado o método de eliminação gaussiana com pívotamento parcial.

Além disso, o sistema de equações lineares escrito em formato algébrico pode ser transformado para formato matricial, como no exemplo abaixo:

2x + 2y + 2z = 2

8x + 8y + 4z = 4 => Ax = b =>

4x + 2y - 2z = 0

[2 2 2] [x] [2]

[8 8 4] [y] = [4]

[4 2 -2] [z] [0]

No exemplo acima, a primeira matriz mostra os coeficientes, o primeiro vetor mostra as incógnitas e por fim, o segundo vetor mostra os termos das constantes.

Um sistema linear consiste em um conjunto de equações, tendo um conjunto de incógnitas ou variáveis. As variáveis presentes na equação aparecem multiplicadas por algum coeficiente, por exemplo os números 1 ou 2, e o estado variável-coeficiente é somado a outro termo variável-coeficiente. Segue abaixo um caso do que pode e do que não pode ser considerado como um conjunto solução de sistemas lineares:

Se pegarmos o conjunto de equações...

x + y = 10

2x - y = 5

Podemos introduzir vários conjuntos de soluções que satisfazem a equação, por exemplo (x = 6, y = 4) , porém esse conjunto precisa também satisfazer a segunda equação, o que não é o caso, por isso não podemos afirmar que esse conjunto seja considerado a solução do sistema linear. Já se utilizarmos o conjunto (x = 5, y = 5), estaremos nesse caso satisfazendo ambas as equações com esse conjunto, assim sendo, esse um conjunto solução do sistema linear.

Eliminação Gaussiana

Também conhecida como escalonamento, este método soluciona sistemas lineares manipulando a matriz estendida do sistema com operações elementares, transformando-a em uma matriz triangular, denominada matriz escalonada do sistema. Após essa transformação, a solução do sistema pode ser obtida utilizando substituição regressiva. As operações citadas são:

• multiplicar uma linha por uma constante não nula
• substituir uma linha pelo valor dela mesma somada a um múltiplo presente em outra linha
• permutar duas linhas

Exemplo 1

Resolução de um sistema linear através da Eliminação Gaussiana.

x + y + z = 1
4x + 4y + 2z = 2
2x + y − z = 0

A matriz estendida desse sistema fica da seguinte maneira:

| 1  1  1  1 |
| 4  4  2  2 |
| 2  1 −1  0 |

No primeiro passo, os valores da segunda linha serão subtraídos pelo quádruplo da primeira linha:

| 1  1  1  1 |
| 0  0 −2 −2 |
| 0 −1 −3 −2 |

Após essa operação, a próxima será inverter a segunda linha com a terceira:

| 1  1  1  1 |
| 0 −1 −3 −2 |
| 0  0 −2 −2 |

Finalizando essas operações, a matriz se encontrará na forma da matriz escalonada desse sistema. Na terceira linha, o valor equivalente ao -2z = -2, então z = 1. Substituindo o z na segunda linha temos -y - 3(1) = -2, ou seja, y = -1. Por fim, na primeira linha, x - 1 + 1 = 1, tendo como resultado x = 1.

Exemplo 2

Exemplo:

      x - y + z = 1
      2x + y - z = 0
      3x - 2y - z = 2

Primeiramente é necessária a multiplicaão da primeira equação por 2, após isso é subtraido o resultado da segunda equação.

      x - y + z = 1
      3y - 3z = -2
      3x - 2y - z = 2

A segunda etapa é multiplicar a primeira equação por 3, após isso é subtraido o resultado da terceira equação.

      x - y + z = 1
      3y - 3z = -2
      y - 4z = -1

A terceira etapa consiste em dividir a segunda equação por 3, após isso é subtraido o resultado da terceira equação

      x - y + z =1
      3y - 3z = -2
      -3z = -1/3

Com isso basta fazer as substituições necessário e o resultado será esse:

      S ( x , y, z ) = (1/3, -5/9 , 1/9)

Classificação de sistemas lineares

Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis.

• Sistema Possível e Determinado (SPD): Ao ser resolvido, somente uma solução será encontrada, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): Esse sistema possui infinitas soluções, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
• Sistema Impossível (SI): Ao ser resolvido, não são encontradas soluções possíveis, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).

Método de Adição

O método de adição, é uma solução de sistemas lineares. Porem é mais usado quando se tem duas equações e duas incógnitas, Basicamente deve-se somar as equações a fim de cancelarmos uma variável no sistema.

Exemplo:

       21x + y = 13
       29x - y = 12

Podemos organiza-la para facilitar, deixando-a assim:

      21x + 29x + y - y = 13 + 12Texto em subscrito

Resultando em:

      21x + 29x = 13 + 12
      50x = 25
      x = 50 / 25 => 2

Assim encontramos o resultado da variável X, porem não acabou, temos que substituir o x na segunda equação

      29x - y = 12
      29(2) - y = 12 
      58 - y = 12
      y = - 12 + 58
      y = 46

Sendo assim, o conjunto solução é:

      S ( x , y ) = (2 , 46)

Método de Jacobi

O método de Jacobi é obtido a partir do sistema linear:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = y₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = y₂

...

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = y_n

Agora, isolando x₁ da primeira linha, obtemos:

x₁^(k+1) = y₁ - (a₁₂x₂^(k) + ... + a_1nx_n^(k)) / a₁₁

Fazendo isso para os próximos x_i de cada equação linear, o resultado será algo como:

x₁^(k+1) = y₁ - (a₁₂x₂^(k) + ... + a_1nx_n^(k)) / a₁₁

x₂^(k+1) = y₂ - (a₂₁x₂^(k) + a₂₃x₃^(k) + ... + a_2nx_n^(k)) / a₂₂

...

x_n^(k+1) = y₂ - (a_n1x₁^(k) + ... + a_n,n-2x_n-2^(k) + a_n,n-1x_n-1^(k)) / a_nn

Uma forma mais abreviada de escrever a equação seria:

x₍₁₎ = aproximação inicial

x_i^(k+1) = (y_i - Σ_{j=1j ≠ i}ⁿ a_ijx_j^(k)) / a_ii

Logo, resolvendo o sistema linear abaixo via Método de Jacobi:

10x + y = 23

x + 8y = 26

Iniciando com x⁽¹⁾ = y⁽¹⁾ = 0.

x^(k+1) = 23 - y^k / 10

y^(k+1) = 26 - x^k / 8

x⁽²⁾ = 23 - y⁽¹⁾ / 10 = 2,3

y⁽²⁾ = 26 - x⁽¹⁾ / 8 = 3,25

x⁽³⁾ = 23 - y⁽²⁾ / 10 = 1,975

y⁽³⁾ = 26 - x ⁽²⁾ / 8 = 2,9625

Método Matricial

O método matricial pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares em que o número de incógnitas é igual ao número de equações, ou seja, sistemas de equações linear com uma matriz quadrada dos coeficientes das incógnitas.

Outra condição para a aplicabilidade do método matricial é a não degeneração da matriz de coeficientes para incógnitas, ou seja, o determinante da matriz deve ser diferente de zero.

O sistema de equações lineares, quando as condições acima são satisfeitas, pode ser representado em forma de matriz, e então resolvido encontrando a matriz inversa da matriz do sistema.

A solução dos sistemas de equações lineares pelo método da matriz baseia-se na seguinte propriedade da matriz inversa: o produto da matriz inversa e da matriz original é igual à matriz identidade.

Que seja necessário resolver um sistema de equações lineares:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

Escrevemos este sistema de equações em forma de matriz:

| a11  a12  a13 |   | x1 |   | b1 | 
| a21  a22  a23 | x | x2 | = | b2 | 
| a31  a32  a33 |   | x3 |   | b3 |

Regra de Cramer

A regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e determinados). É uma técnica de solução de sistemas lineares onde basicamente trabalhamos com determinantes de matriz;

Seja o sistema linear de 3 incógnitas e 3 equações:

${\begin{cases}a11x+a12y+a12z=b1\\a21x+a22y+a23z=b2\\a31x+a32y+a33z=b3\end{cases}}$

Podemos dizer que:

${\begin{pmatrix}a11\quad a12\quad a13\\a21\quad a22\quad a23\\a31\quad a32\quad a33\end{pmatrix}}$. ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}b1\\b2\\b3\end{pmatrix}}$$\Rightarrow$ A . X = B

Onde A é a matriz dos coeficientes, X é a das incógnitas e B é a dos termos independentes.

O método de Cramer, inicialmente exige que façamos o determinante de matriz dos coeficientes, chamaremos esse determinante de D:

D =${\begin{vmatrix}b1&a12&a13\\b2&a22&a33\\b3&a32&a33\end{vmatrix}}$

Calculado este determinante temos que se 𝐷 ≠ 0 então o sistema linear tem solução, ou seja, é possível e determinado, mas, se 𝐷 = 0 não podemos prosseguir com a regra de Cramer. Continuando, devemos agora calcular os determinantes para encontrarmos um valor para as variáveis do sistema, que são obtidos substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada pela coluna da matriz dos termos independentes, ou seja:

Dx =${\begin{vmatrix}b1&a12&a13\\b2&a22&a23\\b3&a32&a33\end{vmatrix}}$ para determinar o valor de X

Dy =${\begin{vmatrix}a11&b1&a13\\a21&b2&a23\\a31&b3&a33\end{vmatrix}}$ para determinar o valor Y

Dz =${\begin{vmatrix}a11&a12&b1\\a21&a22&b2\\a31&a32&b3\end{vmatrix}}$ para determinar o valor Z

Por fim, para de fato determinarmos o valor de cada incógnita, devemos fazer a razão entre os determinantes obtidos pela substituição na matriz dos coeficientes pelo determinante da matriz dos coeficientes, ou seja:

X = ${\frac {Dx}{D}}$

Y = ${\frac {Dy}{D}}$

Z =${\frac {Dz}{D}}$