Transformadas de Fourier

Números complexos

$Z=a+bi,~~a,b\in \mathbb {R}$
$Z^{*}=a-bi$ (Complexo conjugado)
${\mathcal {Re}}(a+bi)=a$ (Parte real)
${\mathcal {Im}}(a+bi)=b$ (Parte imaginária)

Atenção: a parte imaginária de um número é um número real,

{\mathcal {Im}}(3+2i)=2

e não 2i.

$|Z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (Módulo)
$Z=|Z|\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$ (Representação polar)
$Z=|Z|e^{i\varphi }$
O ângulo $\varphi$ é chamado de argumento ou fase.

Temos as seguintes relações:

$\cos(\varphi )={\frac {a}{|Z|}}~~e~~\sin(\varphi )={\frac {b}{|Z|}},~~~~Z\neq 0$

Artimética de números complexos

Forma retangular

{\textstyle Z_{1}=a_{1}+b_{1}i}

e

Z_{2}=a_{2}+b_{2}i

${\textstyle Z_{1}+Z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i}$
${\textstyle Z_{1}-Z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i}$
${\textstyle Z_{1}Z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i}$
${\textstyle {\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}{\frac {Z_{2}^{*}}{Z_{2}^{*}}}={\frac {Z_{1}Z_{2}^{*}}{|Z_{2}|^{2}}},~~~Z_{2}\neq 0}$

Forma polar

{\textstyle Z_{1}=|Z_{1}|e^{i\varphi _{1}}}

e

Z_{2}=|Z_{2}|e^{i\varphi _{2}}

${\textstyle Z_{1}Z_{2}=|Z_{1}||Z_{2}|e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}$
${\textstyle {\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}={\frac {|Z_{1}|}{|Z_{2}|}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})},~~~Z_{2}\neq 0}$

Teorema de Moivre

W:Fórmula de De Moivre

Aplicações

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$
$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Assim:

${\begin{aligned}[rl]\cos ^{2}(x)&={\frac {\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^{2}}{2^{2}}}\\&={\frac {e^{2ix}+2e^{ix}e^{-ix}+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2\cos(2x)}{4}}\\&={\frac {1+\cos(2x)}{2}}\end{aligned}}$

e

${\begin{aligned}[rl]\sin ^{2}(x)&={\frac {\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^{2}}{(2i)^{2}}}\\&={\frac {e^{2ix}-2e^{ix}e^{-ix}+e^{-2ix}}{-4}}\\&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}\\&={\frac {-2+2\cos(2x)}{-4}}\\&={\frac {1-\cos(2x)}{2}}\end{aligned}}$

Exemplos de transformadas

RECT

Seja

$f(x)=\left\{{\begin{aligned}[rl]&1,&|x|<1/2\\&1/2,&|x|=1/2\\&0,&|x|>1/2\end{aligned}}\right.$ Temos

${\begin{aligned}F(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\left(\cos(2\pi \xi x)-i\sin(2\pi \xi x)\right)dx\\&=2\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi x)dx\end{aligned}}$

Onde se usou que a função f(x) é par.

${\begin{aligned}F(\xi )&=2\int _{0}^{1/2}\cos(2\pi \xi x)dx\\&={\frac {2}{2\pi \xi }}\left.\sin(2\pi \xi x)dx\right|_{0}^{1/2}\\&={\frac {1}{\pi \xi }}\sin(\pi \xi )\\&=SINC(\xi )\end{aligned}}$