Transformadas de Fourier

Números complexos

$Z = a + b i, a, b \in ℝ$
$Z^{*} = a - b i$ (Complexo conjugado)
$ℛ ℯ (a + b i) = a$ (Parte real)
$ℐ 𝓂 (a + b i) = b$ (Parte imaginária)

Atenção: a parte imaginária de um número é um número real,

ℐ 𝓂 (3 + 2 i) = 2

e não 2i.

$| Z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ (Módulo)
$Z = | Z | (\cos φ + i \sin φ)$ (Representação polar)
$Z = | Z | e^{i φ}$
O ângulo $φ$ é chamado de argumento ou fase.

Temos as seguintes relações:

$\cos (φ) = \frac{a}{| Z |} e \sin (φ) = \frac{b}{| Z |}, Z \neq 0$

Artimética de números complexos

Forma retangular

Z_{1} = a_{1} + b_{1} i

e

Z_{2} = a_{2} + b_{2} i

$Z_{1} + Z_{2} = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i$
$Z_{1} - Z_{2} = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) i$
$Z_{1} Z_{2} = (a_{1} + b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i$
$\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}} \frac{Z_{2}^{*}}{Z_{2}^{*}} = \frac{Z_{1} Z_{2}^{*}}{| Z_{2} |^{2}}, Z_{2} \neq 0$

Forma polar

Z_{1} = | Z_{1} | e^{i φ_{1}}

e

Z_{2} = | Z_{2} | e^{i φ_{2}}

$Z_{1} Z_{2} = | Z_{1} | | Z_{2} | e^{i (φ_{1} + φ_{2})}$
$\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{| Z_{1} |}{| Z_{2} |} e^{i (φ_{1} - φ_{2})}, Z_{2} \neq 0$

Teorema de Moivre

W:Fórmula de De Moivre

Aplicações

$\cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$
$\sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$

Assim:

$\begin{matrix} [r l] \cos^{2} (x) & = \frac{{(e^{i x} + e^{- i x})}^{2}}{2^{2}} \\ = \frac{e^{2 i x} + 2 e^{i x} e^{- i x} + e^{- 2 i x}}{4} \\ = \frac{e^{2 i x} + 2 + e^{- 2 i x}}{4} \\ = \frac{2 + 2 \cos (2 x)}{4} \\ = \frac{1 + \cos (2 x)}{2} \end{matrix}$

e

$\begin{matrix} [r l] \sin^{2} (x) & = \frac{{(e^{i x} - e^{- i x})}^{2}}{(2 i)^{2}} \\ = \frac{e^{2 i x} - 2 e^{i x} e^{- i x} + e^{- 2 i x}}{- 4} \\ = \frac{e^{2 i x} - 2 + e^{- 2 i x}}{- 4} \\ = \frac{- 2 + 2 \cos (2 x)}{- 4} \\ = \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \end{matrix}$

Exemplos de transformadas

RECT

Seja

$f (x) = {\begin{matrix} [r l] & 1, & | x | < 1 / 2 \\ 1 / 2, & | x | = 1 / 2 \\ 0, & | x | > 1 / 2 \end{matrix}$ Temos

$\begin{matrix} F (ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i 2 π ξ x} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) (\cos (2 π ξ x) - i \sin (2 π ξ x)) d x \\ = 2 \int_{0}^{\infty} f (x) \cos (2 π ξ x) d x \end{matrix}$

Onde se usou que a função f(x) é par.

$\begin{matrix} F (ξ) & = 2 \int_{0}^{1 / 2} \cos (2 π ξ x) d x \\ = \frac{2}{2 π ξ} {\sin (2 π ξ x) d x |}_{0}^{1 / 2} \\ = \frac{1}{π ξ} \sin (π ξ) \\ = S I N C (ξ) \end{matrix}$