DC-UFRPE/Licenciatura Plena em Computação/Cálculo NI/Teorema do confronto

A mensagem do Teorema do Confronto é que, se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados.

Exemplo

$\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {2-cos(x)}{x+3}}$

Primeiro note que

$-1\leq \cos x\leq +1$

devido às propriedades bem conhecidas da função cosseno. Agora multiplique por -1, invertendo as desigualdades e obtendo

$+1\geq -\cos x\geq -1$

ou

$-1\leq -\cos x\leq +1$.

Em seguida, adicione 2 a cada componente para obter

$1\leq 2-\cos x\leq 3$ .

Como estamos calculando o limite à medida que x tende ao infinito, é razoável supor que

$x+3>0$.

Assim,

$\displaystyle {{1 \over x+3}\leq {2-\cos x \over x+3}\leq {3 \over x+3}}$ .

Desde

$\displaystyle {\lim _{x\to \infty }\ {1 \over x+3}=0=\lim _{x\to \infty }\ {3 \over x+3}}$,

Segue-se do princípio do teorema que

$\displaystyle {\lim _{x\to \infty }\ {2-\cos x \over x+3}=0}$ .