Geometria Descritiva/Introdução

Objectivo da Geometria Descritiva

Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

Projeção central ou cónica

Por vezes chamado apenas de perspectiva, este tipo de projeção dá origem a desenhos onde a percepção da tridimensionalidade é evidente, adequando-se à visão humana.

História da perspectiva

A percepção pelo homem de que seria possível representar em planos bidimensionais (como em uma parede, quando de um afresco, ou em uma folha de papel ou em uma tela) realidades tridimensionais ocorre paralelamente á própria História da Arte ocidental e a história do desenho. Ao longo de sua história, o homem sempre procurou utilizar-se dos suportes artísticos como meio de expressão (mesmo quando os movimentos artísticos de vanguarda procurassem dizer o contrário, como no caso das vanguardas abstratas). Porém, tratou-se de uma questão essencialmente ocidental a busca de uma reprodução fiel da visão humana no plano bidimensional: nota-se que na arte oriental (e com especial atenção para o sumi-e japonês), tal preocupação, ainda que não desapareça, manifesta-se com outras intenções. Nas tradições artísticas não-ocidentais, a perspectiva, pelo menos entendida em sua evolução ocidental, praticamente inexiste, visto que a visão de mundo e estética daquelas é diferente e eventualmente menosprezada pelo Ocidente. Em meados do século XIX, quando ocorre um contato maior entre Ocidente e Oriente, o diálogo entre a arte oriental e aquela praticada no ocidente (até então baseada em cânones que remontam ao Renascimento italiano) cria condições para que a própria visualidade ocidental venha a revolucionar-se: pintores ligados ao impressionismo, pós-impressionismo e ao art nouveau sentir-se-ão bastante influenciados por aquilo que se chamou japonismo e abriram caminho para o desmonte da perspectiva clássica (e, consequentemente, da própria forma de ver do homem).

Antes do surgimento da perspectiva, as pinturas e desenhos normalmente utilizavam uma escala para objetos e personagens de acordo com seu valor espiritual ou temático: em uma pintura egípcia, por exemplo, o faraó fatalmente era representado em tamanho várias vezes maior que o de seus súditos. Especialmente na arte medieval, a arte era entendida como um conjunto de símbolos, mais do que como um conjunto coerente. O único método utilizado para se representar a distância entre objetos era pela sobreposição de personagens. Esta sobreposição, apenas, criava desenhos pobres de temas arquitetônicos, de tal forma que o desenho de cidades medievais constituía-se, nestas representações, como um emaranhado de linhas em todas as direções e de forma incoerente.

Cabe notar, também, que se por um lado a perspectiva foi apenas plenamente desenvolvida com os estudos do Renascimento, em um primeiro momento, e com a geometria descritiva no século XVIII, por outro lado já na arte grega encontram-se esforços de aproximação à sua problemática. Entre todos os povos cujas manifestações artísticas podem ser consideradas pré-perspécticas, os gregos (e os romanos, em evolução à arte grega) são aqueles que mais próximo chegaram da perspectiva: em suas pinturas eles adotavam um método conhecido como escorço (que poderia ser definido como uma falsa perspectiva), ou perspectiva a espinha-de-peixe. Os gregos não conheciam o ponto de fuga, mas o escorço produzia resultados próximos do da perspectiva e com razoável ilusão de profundidade.

Ilustração da tradução em Francês antigo da Histoire d'Outremer de Guillaume de Tyr, c. 1200-1300. As linhas em cada lado do templo deveriam, quando paralelas, encontrar-se em algum ponto. Elas não o fazem.

A base óptica da perspectiva foi definida no ano 1000, quando o matemático e filósofo árabe Alhazen, na sua obra Perspectiva, pela primeira vez demonstrou que a luz projeta-se em forma cônica no olho humano. Isto era, teoricamente, suficiente para traduzir objetos de modo convincente em uma pintura, mas Alhalzen estava preocupado apenas com a óptica, não com representação. Traduções cônicas são matematicamente difíceis, de forma que a construção de um desenho utilizando-se delas seria bastante demorado.

Giotto foi um dos primeiros artistas italianos, já em um contexto que se aproximava do Renascimento naquele país, a utilizar-se de métodos algébricos para determinar a distância entre linhas. No entanto, tal método (que mais tarde seria desenvolvido plenamente por Bruneleschi), possuía deficiências e não retratava fielmente uma seqüência de linhas em um determinado campo visual. Uma das primeiras obras de Giotto no qual ele se utiliza deste método foi Jesus ante Caifás . Embora esta obra não se encaixe nos métodos modernos, geométricos de determinação da perspectiva, ela fornece uma ilusão crível de profundidade e pode ser considerada como um passo importante na arte ocidental.

A Geometria Moderna caracterisa-se por aceitar diversos pontos de vista, por deixar de afirmar "é assim" e passa a dizer "pode ser assim"

Projeção paralela ou cilíndrica

Esta projeção usa retas projetantes paralelas, o que dá origem a uma imagem que não corresponde à da visão humana.

Gaspard Monge

Gaspard Monge foi um matemático francês, criador da geometria descritiva. Sem ela - originalmente usada na engenharia militar – a enorme expansão da maquinaria do século XIX teria, provavelmente, sido impossível. Aos quatorze anos construiu um carro de bombeiros. À pergunta de como conseguira tal feito sem qualquer orientação, respondeu: "eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica." Foi um geômetra e engenheiro nato com o dom insuperável de visualizar relações espaciais complicadas. Aos dezesseis anos fez um excelente mapa completo de Beaune, construindo seus próprios instrumentos de agrimensura. Este mapa proporcionou-lhe a primeira grande chance: os professores recomendaram-no para a cadeira de professor de Física do colégio de Lyon, dirigido pela mesma ordem religiosa. A seguir, recebeu a oferta da escola militar de Mézières onde fazia o trabalho rotineiro de agrimensura e desenho, o que lhe deixava tempo livre para a matemática. Uma importante matéria do curso era a teoria das fortificações em que se buscava projetar métodos de defesa para que nada ficasse exposto ao fogo direto do inimigo. Para alcançar este resultado, eram necessários intermináveis cálculos aritméticos. Monge apresentou uma solução rápida para este tipo de problema, tendo que reafirmar, para os que desacreditavam, que a simplicidade do resultado baseava-se em que não fora usada aritmética para chegar à solução. Este foi o começo da geometria descritiva. Foi então colocado como instrutor do novo método para os futuros engenheiros militares. Durante quinze anos o método foi um segredo militar zelosamente guardado. Só em 1794 Monge foi autorizado a apresentá-lo, publicamente, na Escola Normal Superior de Paris. Lagrange disse após a conferência: "eu não sabia que sabia geometria descritiva". Esta invenção revolucionou a engenharia militar e o desenho mecânico. Há muitas maneiras pelas quais a geometria descritiva pode ser desenvolvida ou modificada, mas todas se relacionam com Monge. Contribuiu para o avanço da matemática pela sistemática aplicação do cálculo para a investigação da curvatura das superfícies, preparando o caminho para Gauss que, por sua vez inspirou Riemann, que mais uma vez desenvolveu a geometria conhecida por seu nome (geometria riemanniana) na teoria da relatividade. Em 1788, com a idade de vinte e dois anos, tornou-se professor de matemática em Mézières, e três anos mais tarde, com a morte do professor de Física, ele foi promovido para a sua vaga. Casou-se em 1777. Em 1780 D’Alembert e Condorcet convenceram o Governo a fundar um instituto no Louvre para o estudo de hidráulica e Monge foi chamado a Paris para se encarregar dos trabalhos. De 1791 a 1777 permaneceu no emprego de examinador de candidatos a comissões na marinha, provando ser um servidor incorruptível. Como resultado desta rigidez, a marinha estava pronta para ação em 1789, quando começou a Revolução. Em agosto de 1792 foi posto no Conselho Executivo Provisional para propor alguma medida de apaziguamento do povo que já se descontrolara. Em fevereiro de 1793 tornou-se suspeito de não ser bastante radical. No dia 13 pediu demissão. No dia 18 foi reconduzido. Em abril de 1793, só havia um décimo da munição necessária para um exército de 900.000 homens. Importar seria impossível. Precisava-se de cobre e metal para a manufatura de canhões de bronze, salitre para a pólvora e aço para as armas de fogo. "Dê-nos salitre da terra e em três dias nós estaremos carregando nossos canhões", disse Monge para a Convenção. "Tudo bem", disseram eles, "mas onde nós vamos conseguir o salitre?" Monge e Berthollet mostraram. A nação inteira foi mobilizada sob a direção de Monge e Berthollet. A França inteira transformou-se numa grande fábrica de pólvora. Monge era a alma de tudo. Passou seus dias supervisionando as fundições e arsenais e suas noites escrevendo boletins com ordens para os trabalhadores. Seu boletim "A Arte da Fabricação do Canhão" tornou-se o manual das fábricas.

Em 1796 Napoleão escreveu uma carta para Monge: "Permita-me agradecer pelas boas vindas que um jovem oficial de artilharia, sem qualquer importância, recebeu do Ministro da Marinha em 1792. Este ato ficou preciosamente preservado na minha memória. Aquele oficial hoje é o general do Exército (da invasão da Itália). Estou feliz por estender-lhe a mão em reconhecimento e amizade". Assim começou uma longa amizade entre os dois. Monge parece ter sido o único homem por quem Napoleão teve uma generosa e permanente amizade. Em 1804, Napoleão demonstrou seu apreço pelos méritos de Monge tornando-o Conde de Péluse (Pelusium). A honra foi aceita graciosamente e ele conviveu com o título com toda a pompa da nobreza esquecendo-se de que, certa vez, votara pela abolição dos títulos. Seu declínio iniciou-se ao sofrer um enfarte quando leu o "Boletim no 29" anunciando o desastre do exército francês na sua invasão da Rússia. Com a segunda queda de Napoleão, em 1816, os Bourbons de volta ao poder, exigiram que Monge fosse expulso da Academia. Os acadêmicos, subservientes, obedeceram. O toque final da mesquinhez dos Bourbons foi dado ao recusarem permissão aos jovens da Politécnica que tinham Monge como seu ídolo, para homenageá-lo em seus funerais. Disciplinados, os politécnicos acataram a proibição mas, sendo mais corajosos do que os acadêmicos, entendendo que a ordem do Rei cobria apenas o funeral, marcharam, no dia seguinte, para o cemitério e colocaram uma coroa na sepultura de seu mestre e amigo Gaspard Monge.

Métodos de projecção

Projeção diédrica

Este método foi desenvolvido por Gaspard Monge e teve grande impacto no desenvolvimento tecnológico desde sua sistematização. Percebida sua importância, a geometria descritiva foi tratada com atenção e considerada, no início, uma espécie de segredo de estado.

(também chamada de geometria mongeana ou método monge)