Lógica: Cálculo Proposicional Clássico: Implicação Semântica

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Implicação semântica

Um conjunto $\Gamma \$ de fórmulas implica semanticamente - ou "materialmente" - uma fórmula $\alpha \$, $\left(\Gamma \ \vDash \ \alpha \ \right)$, sempre quando todas as fórmulas de $\Gamma \$ forem verdadeiras, $\alpha \$ seja verdadeira.

Por exemplo, digamos que $\Gamma \ =\left\{\alpha \,\right\}$ (Gama é o conjunto unitário da fórmula alfa). Se $\alpha \$ é verdadeira, então $\alpha \$ é verdadeira. Assim:

$\alpha \ \vDash \ \alpha \$ (alfa implica semanticamente alfa)

Ainda utilizando o conjunto $\Gamma \ =\left\{\alpha \,\right\}$, podemos dizer que:

$\alpha \ \vDash \ \neg \neg \alpha \$ (alfa implica a negação da negação de alfa).

Afinal, sempre que uma fórmula é verdadeira, a negação de sua negação também é verdadeira. Como está ilustrado na tabela adiante:

α	¬α	¬¬α
V	F	V

Agora digamos que $\Gamma \ =\left\{\alpha \,,\beta \,\right\}$ (Gama é o conjunto binário das fórmulas alfa e beta). Revejamos algumas tabelas de verdade, apenas a linha que representa o caso de $\alpha \,$ e $\beta \,$ serem ambas verdadeiras:

α	β	α∧β	α∨β	α→β	α↔β
V	V	V	V	V	V

Podemos ver que, sempre que duas fórmulas são verdadeiras, a conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação entre elas também são verdadeiras. Assim sendo:

$\Gamma \ =\left\{\alpha \,,\beta \,\right\}$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \land \beta \$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \lor \beta \$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \to \beta \$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \leftrightarrow \beta \$

No caso da conjunção, é válido o seguinte:

$\alpha \land \beta \ \vDash \ \beta \$

$\alpha \land \beta \ \vDash \ \alpha \$

Afinal, sempre que a conjunção entre duas fórmulas é verdadeira, ambas as fórmulas são verdadeiras. Isto não acontece com as outras operações lógicas (reveja as tabelas de verdade).

As tautologias

Dada qualquer fórmula $\psi \,\!$, esta implica semanticamente qualquer tautologia:

$\Gamma \ =\left\{\psi \,\right\}$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \to \alpha \$

$\Gamma \ \vDash \ \neg \left(\alpha \land \neg \alpha \right)$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \lor \neg \alpha$

etc.

Afinal, se as tautologias são sempre verdadeiras, então sempre que $\psi \,\!$ é verdadeiro uma tautologia também é verdadeira.

ψ	¬(α∧¬α)	α∨¬α	α→α
V	V	V	V
F	V	V	V

Aliás, até um conjunto vazio de premissas implica semanticamente uma tautologia:

$\Gamma \ =\varnothing$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \to \alpha \$

$\Gamma \ \vDash \ \neg \left(\alpha \land \neg \alpha \right)$

$\Gamma \ \vDash \ \alpha \lor \neg \alpha$

etc.

Portanto, podemos indicar que uma fórmula é tautológica assim:

$\vDash \ \alpha \to \alpha \$

$\vDash \ \neg \left(\alpha \land \neg \alpha \right)$

$\vDash \ \alpha \lor \neg \alpha$

etc.

Teorema da dedução

$\Gamma \vDash \alpha \to \beta \,\!$ se e somente se $\Gamma \cup \left\{\alpha \right\}\vDash \beta \,\!$

Ou seja, um conjunto $\Gamma \,\!$ de fórmulas implica tautologicamente $\alpha \to \beta \,\!$ se e somente se $\Gamma \,\!$ acrescido de $\alpha \,\!$ implica tautologicamente $\beta \,\!$

No caso em que $\Gamma =\varnothing \,\!$, segue que:

$\vDash \alpha \to \beta$ se e somente se $\alpha \vDash \beta$.

Ou seja, se $\alpha \to \beta$ consiste numa tautologia, então um argumento onde o antecedente ($\alpha \!\,$) seja a premissa e o conseqüente ($\beta \!\,$) seja a conclusão é válido. A recíproca também é verdadeira. Ex:

$\vDash \alpha \to \alpha$

$\alpha \vDash \alpha$

$\vDash \alpha \to \neg \neg \alpha$

$\alpha \vDash \neg \neg \alpha$

$\vDash \neg \neg \alpha \to \alpha$

$\neg \neg \alpha \vDash \alpha$

Argumentando com o CPC

Agora passemos para casos de implicação semântica mais interessantes. Vejamos o seguinte conjunto de fórmulas:

$\Gamma \ =\left\{\mathrm {A} \,,\mathrm {A} \to \mathrm {B} \,\right\}$

Podemos dizer que:

$\Gamma \ \vDash \ \mathrm {B} \$

O que fica evidente na tabela:

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na única linha na qual as fórmulas $A\,\!$ e $A\to B$ são ambas verdadeiras, a fórmula $B\,\!$ também é verdadeira.

Agora podemos usar o CPC para verificar a validade lógica de uma infinidade de raciocínios ou argumentos. Como acabamos de ver, é válido todo raciocínio com a seguinte estrutura:

$A\to B$

$A\,\!$

$\therefore B\,\!$

Por exemplo:

Se choveu, então o chão está molhado.

Oras, choveu.

Logo, o chão está molhado.

Se ele estudou muito, então conseguiu uma boa nota.

Ele estudou muito.

Logo, ele conseguiu uma boa nota.

Também podemos apontar que um raciocínio é logicamente inválido, ou seja, falacioso. Por exemplo:

Se ele estudou muito, então conseguiu uma boa nota.

Ele conseguiu uma boa nota.

Logo, ele estudou muito.

Consideremos que $A\,\!$ significa “Ele estudou muito” e $B\,\!$ significa “Ele conseguiu uma boa nota”. A estrutura do argumento então é esta:

$A\to B\,\!$

$B\,\!$

$\therefore A\,\!$

Agora façamos uma tabela de verdade para verificar se sempre que $A\to B\,\!$ e $B\,\!$ são verdades, $A\,\!$ também é verdade:

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Como podemos ver, existe uma valoração na qual $A\to B\,\!$ e $B\,\!$ são verdades e $A\,\!$ é uma falsidade. Portanto, o raciocínio é invalido.

Lista de argumentos válidos usuais

Modus ponens

$\left\{A\to B\ ,A\right\}\vDash B$

Ex:

Se choveu(A), então o chão está molhado(B).

Oras, choveu(A).

Logo, o chão está molhado(B).

Modus tollens

$\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A$

Ex:

Se ele estudou(A), então ele tirou uma boa nota(B).

Ele não tirou uma boa nota(~B).

Logo, ele não estudou(~A).

A	B	¬A	¬B	A→B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Leis de Morgan 1

$\neg \left(A\land B\right)\vDash \neg A\lor \neg B$

Ex:

Não é o caso de virem ambos Fulano e Beltrano para a reunião.

Logo, não virá o Fulano ou não virá o Beltrano.

Obs: Como a disjunção não é exclusiva, ela não exclui o caso de não virem ambos.

A	B	¬A	¬B	A∧B	¬(A∧B)	¬A ∨ ¬B
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V

Observe que também é válido o seguinte:

$\neg A\lor \neg B\vDash \neg \left(A\land B\right)$

Leis de Morgan 2

$\neg \left(A\lor B\right)\vDash \neg A\land \neg B$

Ex:

Não é o caso de vir Fulano ou vir Beltrano para a reunião.

Logo, não virá o Fulano e não virá o Beltrano.

A	B	¬A	¬B	A∨B	¬(A∨B)	¬A ∧ ¬B
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	V	V	F	V	V

Observe que também é válido o seguinte:

$\neg A\land \neg B\vDash \neg \left(A\lor B\right)$

Silogismo Disjuntivo

$\left\{A\lor B,\neg A\right\}\vDash B$

Ex:

Certamente eu comprarei bolo de chocolate ou torta de limão.

Não comprarei bolo de chocolate desta vez.

Logo, comprarei torta de limão.

Repare que $A\lor B$ é equivalente a $\neg A\to B$, de forma que o silogismo disjuntivo consiste num caso do Modus ponens.

A	B	¬A	A∨B	¬A→B
V	V	F	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	V	V
F	F	V	F	F

Silogismo hipotético

$\left\{A\to B,B\to C\right\}\vDash A\to C$

Ex:

Se o buraco na camada de ozônio aumenta, a incidência de raios UV também aumenta.

Se a incidência de raios UV aumenta, o risco de contrair câncer de pele também aumenta.

Logo, se o buraco na camada de ozônio aumenta, o risco de contrair câncer de pele também aumenta.

A	B	C	A→B	B→C	A→C
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

Contraposição

$A\to B\vDash \neg B\to \neg A$

Ex:

Se tudo está calmo, então estou entediado.

Logo, se não estou entediado, então nem tudo está calmo.

A	B	¬A	¬B	A→B	¬B→¬A
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	V	V	V

Repare que o inverso também é válido:

$\neg B\to \neg A\vDash A\to B$

Argumento Conjuntivo

$\left\{\neg \left(A\land B\right),A\right\}\vDash \neg B$

Ex:

Não é o caso de virem ambos Fulano e Beltrano à reunião.

Fulano veio à reunião.

Logo, Beltrano não veio.

A	B	¬B	A∧B	¬(A∧B)
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

Repare que o inverso também é válido:

$\left\{\neg B,A\right\}\vDash \neg \left(A\land B\right)$

Falácias

Uma falácia (ou sofisma) é um raciocínio ou argumento inválido.

Desde a antigüidade filósofos como Platão e Aristóteles buscavam distinguir entre argumentos válidos dos sofismas, que não passam de malabarismos retóricos que podem nos afastar da verdade.

Na literatura especilizada, assim como em vários sítios pela internet, constam várias listas de falácias, das quais vão da quebra de decoro retórico até o desrespeito à metodologia científica.

Nosso interesse aqui são as falácias lógicas, ou seja, o desrespeito as regras da lógica para a construção de raciocínios válidos. No caso da lógica clássica, o raciocínio inválido é aquele que tem uma estrutura a qual não garante que a conclusão seja verdadeira caso as premissas sejam verdadeiras. No Cálculo Proposicional Clássico isto significa ter ao menos uma valoração na qual as premissas são verdadeiras enquanto a conclusão é falsa.

Antes de listar as falácias mais freqüentes, há uma ressalva que precisa ser exposta: Muitos lógicos discordam que as falácias (mesmos as lógicas) estejam no escopo do estudo de lógica. Eles têm uma ótima razão para afirmar isto. Os argumentos logicamente inválidos podem ter várias formas, tais como:

A.

Logo, não A.

Se A, então B.

Não A.

Logo, Não B.

Ambos argumentos são logicamente inválidos. Mas enquanto ninguém seria tolo o suficiente para enganar-se, ser enganado ou tentar enganar alguém com o primeiro argumento, o segundo é freqüente. A razão para tal não é lógica, mas psicológica. “Por quais argumentos logicamente inválidos as pessoas geralmente são enganadas?” Não é uma questão estritamente lógica.

De qualquer forma, cabe num livro de introdução à lógica demonstrar que certos argumentos que por alguma razão parecem logicamente válidos, de fato não o são.

Afirmação do conseqüente

Se A, então B. (A→B)

B.

Logo, A.

Exemplos:

Se João estudou muito foi bem na prova.

João foi bem na prova.

Logo, João estudou muito.

Se Pedro foi atropelado, então ele morreu.

Pedro morreu.

Logo, Pedro foi atropelado.

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Repare que em uma linha, as fórmulas A→B e B são verdadeiras mas a fórmula A é falsa. Ou seja, João pode ter ido bem na prova, mas talvez não tenha estudado muito; e Pedro pode ter morrido, mas talvez não tenha sido atropelado.

Um raciocínio semelhante é válido:

A se e somente se B. (A↔B)

B.

Logo, A.

A	B	A↔B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplos:

(Dado que não havia como colar, a prova estava muito difícil e o professor não é condescendente).

João foi bem na prova se e somente se estudou muito.

João foi bem na prova.

Logo, João estudou muito.

(Dado que Pedro é um Highlander).

Pedro morreu se e somente se foi decapitado.

Pedro morreu.

Logo, Pedro foi decapitado.

Negação do antecedente

Se A, então B. (A→B)

Não A. (¬A)

Logo, não B. (¬B)

Exemplos:

Se João estudou muito, então foi bem na prova.

João não estudou muito.

Logo, João não foi bem na prova.

Se Pedro foi atropelado, então ele morreu.

Pedro não foi atropelado.

Logo, Pedro não morreu.

A	B	¬A	¬B	A→B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Repare que em uma linha, as fórmulas A→B e ¬A são verdadeiras mas a fórmula ¬B é falsa. Ou seja, João pode não ter estudado muito, mas talvez tenha ido bem na prova; e Pedro pode não ter sido atropelado, mas talvez tenha morrido.

Um raciocínio semelhante é válido:

A se e somente se B. (A↔B)

Não A. (¬A)

Logo, não B. (¬B)

A	B	¬A	¬B	A↔B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Exemplos:

(Dado que não havia como colar, a prova estava muito difícil e o professor não é condescendente).

João foi bem na prova se e somente se estudou muito.

João não foi bem na prova.

Logo, João não estudou muito.

(Dado que Pedro é um Highlander).

Pedro morreu se e somente se foi decapitado.

Pedro não morreu.

Logo, Pedro não foi decapitado.

Afirmação do disjunto

A ou B. (A ∨ B)

A.

Logo, não B. (¬B)

Exemplo:

Nestas férias, Renata vai para Londres ou Paris.

Ela já comprou passagem para Londres.

Logo, ela não vai para Paris.

A	B	¬B	A∨B
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	F	V
F	F	V	F

Na primeira linha vemos um caso de A ∨ B e A serem verdadeiros mas ¬B ser falso. Ou seja, talvez Renata tenha ido tanto a Londres quanto a Paris nas férias.

Mas caso a disjunção seja exclusiva, o raciocínio é válido:

Ou A ou B. (A ∨ B)

A.

Logo, não B. (¬B)

A	B	¬B	A∨B
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	V
F	F	V	F

Comutação dos condicionais

A implica B. (A→B)

Logo, B implica A. (B→A)

Exemplo:

Se Luana tem carteira de motorista, ela é maior de idade.

Logo, se Luana é maior de idade, ela tem carteira de motorista.

A	B	A→B	B→A
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Numa linha, A→B é verdadeira mas B→A é falsa. Ou seja, Luana pode ser maior de idade, mas não ter carteira de motorista.

A comutação é válida no caso da conjunção, disjunção e bi-implicação.

Contraposição imprópria

A implica B. (A→B)

Logo, não A implica não B. (¬A → ¬B)

Exemplo:

Se as condições forem favoráveis para o fenômeno ocorrer, ele ocorrerá.

Logo, se as condições forem desfavoráveis, o fenômeno não ocorrerá.

A	B	¬A	¬B	A→B	¬A→¬B
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F
F	F	V	V	V	V

Numa linha A→B é verdadeira enquanto ¬A→¬B é falsa. Ou seja, talvez o fenômeno pode ocorrer mesmo que as condições não sejam favoráveis.

Um exemplo que tornaria o caráter falacioso deste argumento evidente é:

Se decapitarmos Luis XVI, ele morrerá.

Logo, se não o decapitarmos, ele não morrerá.

Negação de um termo conjunto

Não é o caso de ambos A e B. ¬(A∧B)

Não A. (¬A)

Logo, B.

Exemplo:

Não é o caso do clima estar ensolarado e estar nublado ao mesmo tempo.

Não está ensolarado.

Logo, está nublado.

A	B	¬A	A∧B	¬(A∧B)
V	V	F	V	F
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Há uma linha na qual as fórmulas ¬A e ¬(A∧B) são verdadeiras mas B é falsa. Ou seja, o dia poderia não estar nem ensolarado e nem nublado.

Links Externos

• Sobre Falácias

Guia das falácias de Stephen Downes no Crítica na Rede

Fallacy Files

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