Lógica: Cálculo Proposicional Clássico: Operadores e Tabelas de Verdade

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Tabelas Veritativas

Seja ${\mathcal {L}}$ uma linguagem que contenha as proposições $A\,\!$, $B\,\!$ e $C\,\!$.

O que podemos dizer sobre proposição $A\,\!$ ? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela ou é verdadeira ou é falsa. Isto representamos assim:

A

V

F

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições $A\,\!$ e $B\,\!$ ? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

A	B
V	V
V	F
F	V
F	F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para $A\,\!$, $B\,\!$ e $C\,\!$ é assim:

A	B	C
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração.

Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, como $\neg A\,\!$, $B\lor C\,\!$ ou $\left(B\land C\right)\to \left(A\leftrightarrow B\right)$ ? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas veritativas.

Os primeiros passos para construir uma tabela veritativa consistem em:

1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$ tem o seguinte conjuntos de subfórmulas: {$\left(A\land B\right)\to C$ , $A\land B$ , $A\!\,$ , $B\!\,$ , $C\!\,$}

2º) $l\!\,$ linhas em que estão todos os possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares têm dados os valores destes termos.

O número destas linhas é $l=n^{t}\!\,$ , sendo $n\!\,$ o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e $t\!\,$ o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

Então, para a fórmula $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$, temos:

A	B	C	A^B	(A^B)→C	¬((A^B)→C)
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.

Negação

A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber:

A	¬A
V	F
F	V

• Interpretações: "Não $A\!\,$", "Não é o caso de $A\!\,$", "A proposição '$A\!\,$' é falsa".

Assim, em uma linguagem ${\mathcal {L}}\!\,$ na qual $A\!\,$ significa "Sócrates é mortal", $\neg A\!\,$ pode ser interpretada como "Sócrates não é mortal", e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro.

Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se $A\!\,$ significa "Sócrates é mortal", $\neg A\!\,$ pode ser interpretada como "Sócrates é imortal". Por outro lado, em uma linguagem ${\mathcal {L}}\!\,$ na qual $B\!\,$ significa "João é bom jogador", a proposição "João é mau jogador" não é a melhor interpretação para $\neg B\!\,$ (João poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:

A	¬A	¬¬A	¬¬¬A
V	F	V	F
F	V	F	V

“$\neg \neg A\,\!$” significa “‘$\neg A\,\!$’ é falsa”.

“$\neg \neg \neg A\,\!$” significa “‘$\neg \neg A\,\!$’ é falsa”.

E assim por diante.

Repare que $\neg \neg A\,\!$ é equivalente a $A\,\!$, assim como $\neg \neg \neg A\,\!$ é equivalente a $\neg A\,\!$.

A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação. Interpretando mais uma vez $A\,\!$ por "Sócrates é mortal", podemos perfeitamente interpretar $\neg \neg A\,\!$ de diversar formas: "Não é o caso de que Sócrates não é mortal", "Não é o caso de que Sócrates é imortal", "É falso que Sócrates não é mortal", "É falso que Sócrates é imortal" etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é uma ênfase na negação. Exemplos: "Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc.

Conjunção

A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber:

A	B	A∧B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Interpretação: "$A\land B\!\,$" pode ser interpretada como "$A\!\,$ e $B\!\,$", "Tanto $A\!\,$ quanto $B\!\,$", "Ambas proposições '$A\!\,$' e '$B\!\,$' são verdadeiras" etc.

Assim, em uma linguagem ${\mathcal {L}}\!\,$ na qual $A\!\,$ significa "Sou cidadão brasileiro" e $B\!\,$ significa "Sou estudante de filosofia", $A\land B\!\,$ pode ser interpretada como "Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia"; o que só é verdade se $A\!\,$ é verdade e $B\!\,$ é verdade.

Repare que a conjunção é comutável, ou seja, $A\land B\,\!$ é equivalente a $B\land A\,\!$, a saber:

A	B	A∧B	B∧A
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	F	F

A comutatividade da conjunção trás um problema para formalizar proposições da linguagem natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma seqüencia temporal. Por exemplo "Isabela casou e teve um filho" é bem diferente de "Isabela teve um filho e casou". Repare que o mesmo problema não acomete a proposição "Isabela é casada e tem filhos", que é equivalente a "Isabela tem filhos e é casada". Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por meio de uma conjunção.

Proposições que levam a palavra "mas" também podem ser formalizadas pela conjunção. Por exemplo, em uma linguagem ${\mathcal {L}}\!\,$ na qual $C\!\,$ significa "João foi atropelado" e $D\!\,$ significa "João sobreviveu ao atropelamento", as sentenças "João foi atropelado e sobreviveu" e "João foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas serem formalizadas assim: $C\land D\,\!$

Afinal, ambas proposições afirmam os mesmos eventos na mesma seqüencia: o atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita, o que não importa para a lógica.

Disjunção

A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber:

A	B	A∨B
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Repare que a disjunção também é comutativa:

A	B	A∨B	B∨A
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	F

• Interpretação: "$A\lor B\!\,$" pode ser interpretada como "$A\!\,$ ou $B\!\,$", "Entre as proposições $A\!\,$ e $B\!\,$, ao menos uma é verdadeira".

Assim, se $A\!\,$ significa "Fulano estuda filosofia" e $B\!\,$ significa "Fulano estuda matemática", $A\lor B\!\,$ pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem $A\!\,$ nem $B\!\,$ forem verdadeiras.

Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa", "Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa".

Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação, como veremos mais adiante.

Implicação

A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e da direita (conseqüente) for falsa. A saber:

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Repare que a implicação não é comutativa:

A	B	A→B	B→A
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

• Interpretação: "$A\to B\!\,$" pode ser interpretada como "Se $A\!\,$, então $B\!\,$", "$A\!\,$ implica em $B\!\,$", "Se a proposição ' $A\!\,$ ' é verdade, então a proposição ' $B\!\,$ ' também é verdade", "A partir de '$A\!\,$' inferimos '$B\!\,$' ", "$A\!\,$ satisfaz $B\!\,$", "$A\!\,$ é condição suficiente de $B\!\,$".

Assim, se, em uma linguagem ${\mathcal {L}}$ , $A\!\,$ significa "O botão vermelho foi apertado" e $B\!\,$ significa "O lugar todo explode", $A\to B\!\,$ pode ser interpretada como "Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de $A\!\,$) e o lugar não explodir (falsidade de $B\!\,$):

A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar "mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não ter nada a ver com a outra?".

Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar") ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: "Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par maior que 2 é primo"), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação.

Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação a na linguagem natural, é problemático. Podemos estar lidando com uma implicação cujo o antecedente e o conseqüente não tem relação alguma. Bastando que o antecedente seja falso ou o conseqüente seja verdadeiro para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação satisfatória para a implicação.

Bi-implicação

A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

A	B	A↔B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Repare que a bi-implicação é comutativa:

A	B	A↔B	B↔A
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	V	V

• Interpretação: "$A\leftrightarrow B$" pode ser interpretada como "$A\!\,$ se e somente se $B\!\,$", "$A\!\,$ é equivalente a $B\!\,$", "$A\!\,$ e $B\!\,$ possuem o mesmo valor veritativo".

Assim, se $A\!\,$ significa "As luzes estão acesas" e $B\!\,$ significa "O interruptor está voltado para cima", $A\leftrightarrow B$ pode ser interpretada como "As luzes estão acesas se e somente se o interruptor está voltado para cima", o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não estiver voltado para cima (verdade de $A\!\,$ falsidade de $B\!\,$), ou se as luzes não estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de $A\!\,$ e verdade de $B\!\,$):

Outros conectivos

Ainda há outros conectivos interessantes, mas, por motivos explicados mais para frente, não trabalharemos com eles. Vamos apenas nos familiarizar com alguns deles agora.

Adaga de Quine

$A\downarrow B\,\!$ é verdadeiro somente se ambos, $A\!\,$ e $B\!\,$, forem falsos. Trata-se, portanto, da negação da disjunção:

A	B	A∨B	A↓B
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

Disjunção Exclusiva

A disjunção exclusiva entre duas fórmulas é verdadeira somente se apenas uma delas for verdadeira. Trata-se, portanto, da negação da bi-implicação:

A	B	A↔B	A∨B
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	V	F

Traço de Sheffer

$A\mid B\,\!$ só é falsa se ambos $A\,\!$ e $B\,\!$ forem verdadeiros. Trata-se, portanto, da negação da conjunção.

A	B	A∧B	A|B
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Uso de parênteses e fórmulas com mais de um operador

Assim como na aritmética e algebra, os parênteses na lógica indicam o que considerar primeiro. Portanto, a fórmula $\neg \left(A\land B\right)$ consiste na negação da conjunção entre $A\,\!$ e $B\,\!$, enquanto a fórmula $\neg A\land B$ consiste na conjunção entre a negação de $A\,\!$ e $B\,\!$.

A diferença entre as fórmulas fica clara na tabela de verdade:

A	B	¬A	A∧B	¬(A∧B)	¬A∧B
V	V	F	V	F	F
V	F	F	F	V	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	F	V	F

Da mesma forma, $A\to \left(B\to C\right)$ é distinta de $\left(A\to B\right)\to C$. A saber:

A	B	C	A→B	B→C	(A→B)→C	A→(B→C)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	V	V	V
V	F	F	F	V	V	F
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V	V
F	F	F	V	F	V	V

Contudo, tem-se que a fórmula $A\land \left(B\land C\right)$ é equivalente à $\left(A\land B\right)\land C$, pois ambas só serão verdadeiras se $A\,\!$, $B\,\!$ e $C\,\!$ forem verdadeiras.

Da mesma forma, $A\lor \left(B\lor C\right)$ é equivalente à $\left(A\lor B\right)\lor C$ (ambas só são falsas quando todos termos são falsos), e $A\leftrightarrow \left(B\leftrightarrow C\right)$ é equivalente à $\left(A\leftrightarrow B\right)\leftrightarrow C$.

Devido a isto, vale como convenção informal as construções $A\land B\land C$, $A\lor B\lor C$ e $A\leftrightarrow B\leftrightarrow C$.

Completando a tabela de verdade

Agora vejamos como completar a tabela de verdade da fórmula $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$.

Uma vez que já estabelecemos todas valorações de $A\,\!$, $B\,\!$ e $C\,\!$ vamos completar cada coluna, começando pela subfórmula mais simples até chegar à fórmula em questão.

Neste caso, vamos começar por $A\land B\,\!$. Pela definição de conjunção, em cada linha nas quais tanto $A\,\!$ quanto $B\,\!$ forem verdadeiras, $A\land B\,\!$ será verdadeira. Em todas as demais, será falsa:

A	B	C	A∧B	(A∧B)→C	¬((A∧B)→C)
V	V	V	V
V	V	F	V
V	F	V	F
V	F	F	F
F	V	V	F
F	V	F	F
F	F	V	F
F	F	F	F

Agora vamos considerar a coluna da subfórmula $\left(A\land B\right)\to C$. Pela definição de implicação, em cada linha na qual o antecedente $A\land B\,\!$ for verdadeiro enquanto o conseqüente $C\,\!$ for falso, $\left(A\land B\right)\to C$ será falso. Em todas as demais, será verdadeira:

A	B	C	A∧B	(A∧B)→C	¬((A∧B)→C)
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

Por fim, resta a coluna da fórmula $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$. Pela definição de negação, em cada linha na qual $\left(A\land B\right)\to C$ for verdadeira, $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$ será falsa; e em cada linha na qual $\left(A\land B\right)\to C$ for falsa, $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$ será verdadeira:

A	B	C	A∧B	(A∧B)→C	¬((A∧B)→C)
V	V	V	V	V	F
V	V	F	V	F	V
V	F	V	F	V	F
V	F	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F
F	V	F	F	V	F
F	F	V	F	V	F
F	F	F	F	V	F

Por meio desta tabela podemos ver que a fórmula $\neg \left(\left(A\land B\right)\to C\right)$ só é verdadeira em um único caso: o qual $A\,\!$ e $B\,\!$ são verdadeiras enquanto $C\,\!$ é falsa. Esta é uma das aplicações da tabela de verdade: determinar em quais valorações de suas subfórmulas uma fórmula é verdadeira ou falsa.

Exercícios

Seja ${\mathcal {L}}$ uma linguagem na qual:

$A\,\!$ significa "Russell desenvolveu a teoria das descrições".

$B\,\!$ significa "Gödel é matemático".

$C\,\!$ significa "Está chovendo".

Formalize no CPC as seguintes proposições e faça a tabela de verdade de cada uma delas:

1. "Não está chovendo".
2. "Russell desenvolveu a teoria das descrições e Gödel é matemático".
3. "Russell desenvolveu a teoria das descrições ou Gödel não é matemático".
4. "Se Gödel é matemático, então está chovendo".
5. "Se não está chovendo, então Gödel não é matemático".
6. "Nem está chovendo, nem Russell desenvolveu a teoria das descrições".
7. "Russell não desenvolveu a teoria das descrições se e somente se está chovendo".

Resolução dos Exercícios

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