Geometria Descritiva/2-Coordenadas

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Resumo da Matéria Anterior[editar | editar código-fonte]

Na aula anterior estudámos os princípios da Geometria Descritiva, nomeadamente que:

  • Os objectos são sempre representados por duas imagens, a projecção horizontal, que mostra o objecto visto de cima, e a projecção frontal, que mostra o objecto visto de lado.
  • As projecções são conseguidas usando o método da projecção cilíndrica ou paralela, o que significa que se tem uma imagem como se o observador estivesse no infito, resultado de se passar pelo objecto rectas projectantes paralelas que intersectam a 90º os planos de projecção.
  • Os planos de projecção são um referencial constituído pelo plano horizontal de projecção e o plano frontal de projecção, ortogonais e que se interseccionam no eixo x.
  • Para se obter o desenho final, sobrepõe-se as projecções de modo a ambas as projecções do eixo x ficarem sobrepostas.
  • Para se distinguir os elementos de cada projecção usa-se o índice 1 para a projecção horizontal e o 2 para a frontal.
  • O eixo x é para cada projecção o desenho de um plano de projecção projectado. Como tal, na projecção horizontal, é possível ver a distância dos pontos ao PFP, enquanto que na projecção frontal é possível ver a distância dos pontos ao PHP.


Afastamento[editar | editar código-fonte]

Um dado objecto pode estar mais perto do plano frontal de projecção, mais longe, e pode estar do "nosso lado", ou "do outro".

Como se vê qual o afastamento de um ponto ou objecto?

Esse afastamento aparece na projecção horizontal do objecto. Nesta projecção vimos o objecto visto de cima, em planta, e não nos podemos esquecer que o eixo x representa o plano frontal de projecção.

O afastamento é a distância de um ponto ao plano frontal de projecção, sendo medida traçando uma linha entre a projecção horizontal do ponto e o eixo x, linha essa perpendicular ao eixo x.

O valor do afastamento é positivo se o ponto estiver do “nosso lado” do plano frontal, sendo negativo se estiver do “outro lado”. Isso significa que afastamento positivo é marcado na projecção para baixo do eixo x, e o negativo para cima, já que, com a folha de desenho à nossa frente, podemos imaginar o plano frontal como um plano que sai do eixo x e que é perpendicular à folha de desenho, onde existe a projecção frontal.


Em resumo:

  • A distância de um ponto ao plano frontal de projecção chama-se afastamento.
  • É visível na projecção horizontal.
  • É a distância da projecção horizontal ao eixo x.
  • O afastamento positivo é marcado para baixo do eixo x, e o negativo para cima.

Cota[editar | editar código-fonte]

Para além de se saber a posição do objecto em planta, também é necessário saber a altura dos pontos. Essa altura é dada pela distância ao plano horizontal de projecção, que se chama cota.

A cota é visível na projecção frontal, onde a distância de um ponto ao plano horizontal é dada pela distância da sua projecção frontal ao eixo x. A cota é portanto a altura do ponto.

Para cima, a cota é positiva, para baixo, cota é negativa.

Em resumo:

  • A distância de um ponto ao plano horizontal de projecção chama-se cota.
  • É visível na projecção frontal.
  • É a distância da projecção frontal ao eixo x.
  • A cota negativa é marcada para baixo do eixo x, e a positiva para cima.


Diedros[editar | editar código-fonte]

Os planos de projecção fazem 4 diedros (ângulos) entre si, que definem zonas de afastamento e cota positivos ou negativos.

  • No primeiro diedro, a cota e o afastamento são positivos.
  • No segundo diedro, a cota é positiva e o afastamento negativo.
  • No terceiro diedro, a cota é negativa e o afastamento negativo.
  • No quarto diedro, a cota é negativa e o afastamento positivo.


Exercício resolvido[editar | editar código-fonte]

Represente um cubo [ABCDEFGH] tal que:

O cubo tem um lado paralelo com cada um dos planos de projecção.

O cubo tem 5cm de lado.

[AB] é a aresta mais próxima do eixo x e tem 3 de cota e 2 de afastamento.

Resolução[editar | editar código-fonte]

Primeiro temos que imaginar o objecto no espaço, se necessário fazer um esboço, e antever o resultado. Já tivemos um exercício semelhante na aula anterior. Nele vimos que as projecções do cubo com duas faces paralelas aos planos de projecção seriam quadrados. Também vimos a forma como algumas das superfícies estão sobrepostas ou visíveis apenas de lado, pelo que há pontos sobrepostos. Por favor veja esse exercício para não nos repetirmos. Agora temos que cumprir mais algumas indicações.

Temos, portanto, que perceber qual das arestas será a mais próxima do eixo x, de modo a desenhá-la com afastamento e cota correctos.

Vamos ver a imagem da resolução desse outro exercício:

Qual a aresta mais próxima do eixo x?

Ora na projecção horizontal vemos que as arestas [AB] e [EF] são as mais próximas do plano frontal de projecção, enquanto que na projecção frontal vemos que destas a [AB] é a mais próxima do plano horizontal, pelo que podemos concluir que [AB] é a mais próxima do eixo x.

Quer isto dizer que temos que desenvolver o cubo a partir desta aresta para cima em cota e para baixo na projecção horizontal. Se um cubo tem um lado paralelo a cada plano de projecção, terá também 4 arestas paralelas ao eixo x, e ambas as projecções serão um quadrado com 5cm de lado.

Vamos então: primeiro temos de desenhar as projecções da aresta mais próxima do eixo x. Comecemos pelo ponto A, marcando a sua projecção horizontal a 2 cm do eixo x (para baixo), uma vez que o afastamento é 2. A projecção frontal estará 3cm acima do eixo x. Marcamos o ponto B de forma semelhante a 5 cm para o lado (não é especificado qual) do ponto A, a partir daí construímos os quadrados que formam as projecções do cubo, que têm 5 cm de lado). Como sabemos que [AB] é a aresta mais próxima do eixo x, sabemos que o cubo se desenvolve para cima desta aresta e para mais próximo visto de cima, portanto, a projecção horizontal do cubo será para baixo da projecção de [AB] e a projecção frontal será para cima.

Agora temos que dar nomes aos outros pontos, podemos escolhê-los já que não está especificado no enunciado, temos é que saber fazer corresponder as projecções dos pontos no sítio certo. Para fazer isto é preciso ter-se a noção que cada linha na projecção corresponde a uma superfície que é vista de lado, pelo que haverá sempre projecções de pontos sobrepostas, tal como está bem demontrado no exercício da aula anterior.

Abcissa[editar | editar código-fonte]

Para marcar com exatidão um ponto, para além do afastamento e cota, temos também de saber para que lado está. Para isso, usa-se um plano de referência, perpendicular aos planos e projecção, chamado plano de perfil principal, designado também por (pi) ou plano yz.

Esta designação deve-se à aplicação à geometria descritiva dos eixos ordenados x, y e z do referencial cartesiano.

Eis como fica o referencial completo:

Referencial completo, note que o plano de perfil não é um plano de projecção.

Se o ponto estiver para a esquerda do plano de perfil, a abcissa é positiva, para a direita a abcissa é negativa.

A abcissa reflecte-se em ambas as projecções.


Notação das Coordenadas[editar | editar código-fonte]

As coodenadas de um ponto representam-se assim:

A(1,-2,3) (abcissa, afastamento, cota)

Com estas coordenada é possível compreender exactamente onde está o ponto, e a sua posição relativa a quaisquer outros pontos.

Como se mostra no desenho a abcissa do ponto?

Para isso é necessário representar o plano de perfil principal, que será, em princípio representado, aproximadamente a meio da folha. Se a intersecção dos planos de projecção é o eixo x, então seguindo o modelo do referencial cartesiano, a intersecção do plano de perfil com o plano frontal de projecção é o eixo z, e a intersecção do plano de perfil com o plano horizontal de projecção é o eixo y.

Por isso, o plano de perfil principal será representado pelos eixos y e z, cujas projecções ficarão coincidentes, sendo, na prática, uma linha perpendicular ao eixo x, representada a meio da folha.

Como exemplo, eis como se representa o ponto A(1, 1, 1):


  1. Para começar, traçou-se os eixos x, y e z, algo que faremos de agora em diante em todos os exercícios.
  2. Como o ponto tem 1 de abcissa sabemos que as projecções vão ficar 1 unidade para a direita do plano de perfil, podemos marcar essa abcissa no eixo x.
  3. Daqui marcamos a projecção frontal 1 unidade para cima e a horizontal uma unidade para baixo.

Exercícios 2[editar | editar código-fonte]

1 - Desenhe os seguintes pontos:

(Unidades em centímetros)
A(1,3,4)
B(-3,4,-5)
C(-1,5,3)
D(0, -1, -1)
E (5, 5, -5)


Indique em que diedro cada um destes pontos se encontra.

2 - Desenhe um quadrado [ABCD] horizontal com 3 cm de cota sabendo que:

[AB] é o segmento que possui o menor afastamento.
A tem 2 de afastamento e 3 de abcissa.
B tem 3 de afastamento e -1 de abcissa.


Solução

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